30 MARIA LOMBAKDINI 



La s (x) non ammette zeri di multipìicità > 2 per a interno 



all' intervallo (1, Tp-j (estremi esclusi). 



Consideriamo gli estremi dell'intervallo. 

 Se a = 1 la (3) ci dà, come incidentalmente abbiamo già 

 trovato nella dimostrazione del lemma, 



„ 2 ir a;o -, 



sen2 -^'- = 1 



quindi anche: 



sen^ 



La derivata seconda è, in modulo, uguale a: 



2tt\2// r, \2 



e quindi ancora lo zero considerato non può essere triplo. 



T 



Se a = -^ , per la (3) è: 



quindi anche 



„ 2 TI a"o p. 



sen^ — - — = 

 -ti 



sen y-^jT^ + ^ 



Lo zero considerato è allora necessariamente triplo per s {x). 



T 

 Ma la derivata prima ridotta ha ampiezza a-^ = \ e non può 



quindi avere zeri piìi che doppi: lo zero considerato non può 

 dunque essere per s {x) più che triplo. 



Osserviamo che la (3) ci dà s^ {xq) ^= ^\ solo per a = 1 



T. 



e Sj (a^o) = solo per a ^= ~- ', onde possiamo enunciare la 



proposizione : 



Per a = 1 la s (x) ammette zeri multipli, e precisamente 

 doppi, soltanto nei punti ascisse di estremi di nome opposto per 

 le due sinussoidi cotnponenti; inoltre la s (x) non può ammettere 

 zeri multipli in detti estremi se r=^1. 



