CONSIDEKAZIONI GEOMETRICHE PER l'aNALISI PERIODALE 31 



T 



Per a = „,^ la s (x) può ammettere zeri multipli, e precisa- 



mente tripli, soltanto negli zeri comuni alle due sinussoidi compo- 

 nenti; inoltre la s (x) non può ammettere zeri multipli negli zeri 



T 

 comuni alla Si e alla S2 se a =1= -~ . 



Il 



Dimostriamo che: 



Ogni s ammette co zeri di multiplicità dispari, necessariamente 



semplici se a=\= J^ . 



Basta provare che ogni s cambia 00 volte di segno. Se a <^ 1 

 questo accade in ogni intervallo tra due estremi consecutivi 

 della Si{v), perchè se a^i, X2 sono le ascisse dei due estremi è: 



\s, {x.)\ = l>a, l>\s, {x,)\; (r = (1, 2)) 



quindi s (a*^) ha il segno di s^ (a-,.), e perciò opposto in j^i e in 372- 

 Nello stesso modo si vede che se « >> 1 la s (x) cambia di segno 

 in ogni intervallo tra due estremi consecutivi della «2 (^)- 



Se a = 1 il ragionamento cadrebbe in difetto se non si può 

 affermare che 00 volte due estremi consecutivi di Si (x) non sono, 

 ne l'uno né l'altro, zeri di s{x). Tali punti (zeri di s{x), estremi 

 di Si{x)) sarebbero, come si è visto or ora, zeri doppi di s{x); 

 dico che se Xq è uno qualunque di essi nell'intervallo {xq, Xq -j- T^), 

 la s [x] cambia di segno, e quindi ha uno zero di multiplicità 

 dispari, e perciò semplice. 



Invero, tenendo presente che: 



Si M = «2 (^0) = ± 1 , 



se € è un numero qualunque tale che: 



si ha: 



^. ^ 2 ne ^ 2 ne ^ k 



'^<- j, < y; ^ 2 ' 



6"i (^0 + €) I > I «2 (a7o + e) I , 



onde la s{x -\- e) ha il segno della s^ {x -\- e), e cioè il segno 

 di Si (aio). 



