CONSIDERAZIONI GEOMETRICHE PER l'aNALISI PERIODALE 33 



T 

 consecutivi della s^ (x) ; se sl<C -^ la s (x) ha uno zero semplice, 



ed uno solo, nell'interno di ogni intervallo i cui estremi siano 

 ascisse di due estremi consecutivi della Sj (x). 



Abbiamo già provato che, in entrambi i casi, la s (x) am- 

 mette almeno uno zero in ciascuno degli intervalli considerati. 



Supponiamo a>>l, e supponiamo, per assurdo, che in uno 

 di detti intervalli la s (x) abbia più di uno zero: siano a?i<Ca?j 

 due consecutivi di tali zeri. Sappiamo che 



\ dx ]x = Xr 



(^- = (1,2)). 



Dalla 



(4^) =ii„,^M„ (r = (l,2)) 



\dx/X = Xr x—X ^ ^'' 



abbiamo che il segno della derivata in aji, è uguale al segno 

 che la s (x) ha nell'intorno a destra dì x^; e in x^ è opposto 

 al segno che la stessa s (x) ha nell'intorno a sinistra di Xf 

 Ma in tutto l'intervallo Xi, X2 la s (x) non cambia di segno, in 

 particolare nei due intorni considerati, perciò: 



/ ds \ I ds \ 



\ dx /x=xi \ dx }x=xn 



hanno segno opposto. 



Ma dal lemma II abbiamo, che la — — in Xi e in x^ ha 



dx 



segno uguale a quello della -7^; ora questo segno è costante 



in tutto l'intervallo; è dunque assurdo supporre l'esistenza dei 

 due zeri a^i, X2. 



Il ragionamento vale anche nell'ipotesi a = 1, se non è uno 

 zero di s {x) uno degli estremi dell'intervallo considerato. Ma 

 per un'osservazione del n" prec, in tal caso s {x) non ha altri 

 zeri appartenenti all'intervallo, mentre il suddetto zero è doppio. 

 Si conclude che : 



Se a = l, nell'interno di ogni intervallo i cui estremi non 

 siano zeri della s (x) e siano ascisse di due estremi di ugual nome 

 della S2(x), la somma degli ordini di multiplicità degli zeri 

 della s (x) è uguale a due. 



Atti della Beale Accademia — Vol.'LVIII. 3 



