34 ^ MARIA LOMBARDINI 



T . 



Se a<C~- , siano Xa , x^ due estremi consecutivi di s^ {x) ; 



in essi la s [x) ha segno uguale alla Sj (ic), e quindi segno op- 

 posto; ammette perciò nell'interno delFintervallo {xcx^Xf^) un 

 numero dispari di zeri; se dunque in detto intervallo si ha più 

 di uno zero, questi zeri sono almeno tre e sono tutti semplici 

 (§ 4): disposti in ordine crescente, questi zeri siano x-^^x^, ...,Xn 

 {^Ca <C ^1 <C ^2 <C ••• <C ^n-i <C x>i <C ^/s). L'unico zero di Si (x) in 

 {xa, x^) sarà compreso tra due consecutivi di questi punti e 

 quindi uno almeno degl'intervalli {xa, x^) e {Xn-i, Xf}) non con- 

 tiene questo punto: sia l'intervallo {xa, x^. Esso è diviso da Xi 

 in due intervalli (iCa» ^i) e {xi, x<^ nei quali s{x) ha segni 

 opposti mentre s^ [x] ha segno costante. Poiché il segno di 

 s {xa) è quello stesso di s^ [xa), in [x-^ , ^2) la s [x] ha dunque 

 segno opposto a Si{x). Ma in (a^^, x^ s{x) ha almeno un 

 estremo nel quale, pel lemma II, dovrebbe avere lo stesso 

 segno di Sj [x) : si cade dunque anche qui in assurdo. 

 Il precedente sviluppo prova anche che: 



T . 



Se a = -—^ , nell'interno di ogni intervallo i cui estremi siano 

 il 



ascisse di due estremi consecutivi della Sj (x), la s (x) Jm uno zero 

 ed imo solo (semplice triplo). 



Teorema. — Se a è esterno all'intervallo 11, —-) (0 coincide 



col secondo estremo) e la s(x) ha, in un segmento b, m zeri (m>2), 

 uno dei periodi delle sinussoidi componenti è compreso nell'intervallo 



( ■ g , — ^—^ j ; e precisamente Tg se a > 1 ; Ti se a < -=r- • 



La proposizione è vera anche per a = 1 purché si contino gli 

 eventuali zeri doppi colla loro multiplicità. 



Supponiamo anzitutto «^1: dalla proposizione precedente 

 segue che la s (x) ha certamente '2h — ^1 zeri, in h periodi con- 

 secutivi della S2{x), cioè in ogni segmento di lunghezza b=hT2j 

 né può ammetterne più di 2h -\-\. Se ò := {h -\- {) 1\ {h intero, 

 G<;€<^1), la 8 {x) può ancora avere uno zero di più; dunque: 



e quindi: 



2/i — l<w<2/i + 2 



A<4- e 2\ - 2b 



~ n ^ — m — <^ 



