GENERE DELLA CURVA DOPPIA, ECC. 169 



Dunque le forme (2) si tagliano lungo le curve qp(*\ qp(«-2> 

 e si toccano lungo la curva ^f•, a riprova di ciò si ha l'identità: 



[{s — 1) m]» = (' I ^) m3 + (' 7 ^) m' + 4 



3'^ 



Ora osserviamo che, essendo le forme /"a generiche, le 

 curve (p(*^ e q)^*"^) non hanno punti comuni. 



Supponiamo infatti che abbiano invece qualche punto a 

 comune. — La forma F^ll non contiene q)(*~2), onde essa taglierà 

 questa curva in un punto finito di punti P». Poiché la forma F'il 

 contiene invece per intero la curva (p(*), quest'ultima dovrà per 

 l'ipotesi fatta contenere qualche punto Pi . Siccome qp^*^ sta sulla 

 forma F^22, si ha quindi che questa forma contiene qualche 

 punto Pi. — Ora ciò è assurdo, poiché, mentre i punti Pi (che 

 sono in numero finito) non dipendono menomamente dalle forme 

 fi.s-i, fi.i, il determinante F^^l dipende in modo essenziale da 

 queste: precisamente F^H si esprime con un polinomio di 2° grado 

 nelle fi,s-i, fi,s, i cui coefficienti sono generalmente diversi da 

 zero nei punti Pi. — 



La Jacobiana delle forme (2) e di due forme lineari di 84^ 

 è di ordine 3 [(s — 1) m — 1]. Indichiamo con a il numero degli 

 eventuali punti di appoggio di cpW colla curva ip ; allora, per 

 quanto precede, e pel teorema dimostrato alla fine del § I, il 

 rango r della curva (p<*) è dato dalla formola: 



(3) r = (^ + ^) m3 . 3 [(s — 1) w — 1] — 3a. 



Non ci resta quindi che determinare il numero a. 



Basta perciò osservare che i punti comuni a qp'*), F^'~^'> 

 sono tutti e soli gli a punti comuni a qp^*) e 4;. Infatti un punto 

 di qp(*) che annulli F(*~^\ non può annullarne tutti i minori 

 d'ordine massimo, perchè non sta mai, come s'è visto dianzi, 

 su q)^*-2); quindi per il lemma del § II sta su vp. Viceversa, 

 poiché ip sta su F^'~^\ un punto comune a ip e a qp(*) è pure 

 comune a q>^'^ e F^^~'''^\ — D'altronde in un tal punto la curva (p(*> 

 tocca la forma F(*-2' ; giacche, per un teorema dimostrato sopra. 



