170 BENIAMINO SEGRE — GENERE DELLA CURVA DOPPIA, ECC. 



in ogni punto di ip le forme (2) (che si segano lungo qp^*)) toc- 

 <;ano F'^^~^\ — Si ha quindi : 



<4) 2a=(*^^ìm3.(s — 2)?«. 



Sostituendo dunque nella (3) viene: 



(S + I)s2(s — 1) , (s + l)5(s — 1) 3 ,5^ 



r = - — — ~-r^ iw* — --pr ^ ni^ ri- 



4 -a 



Da qui segue per il genere p di q)^*) l'espressione: 



<5) ^= (»+l)f<»-') ^._ S. (. + 1)^.-1) ^3 + 1. 



O la 



È questo il genere che ci eravamo proposto di determinare. La 

 formola vale ancora, com'è facile verificare, nei casi esclusi in 

 <;ui s ^ 2 oppure s = 3. 



IV. 



Si ha una forma F^°^ molto importante, considerando la 



Hessiana di una ipersuperficie generica di ^4. 

 In base a quanto precede potremo dire che: 

 La forma Hessiana di una ipersuperficie d'ordine n di S4, 



ha generalmente una curva doppia il cui ordine è 20 (n ^ 2)* ed 



il cui genere è: 



<6) 75 {n — 2)* — 50 (w — 2)^ + 1 (e). 



(^) In base a questa formola si può determinare la classe della nostra F^'K 

 5i ha così che i^*'^ (la quale è di ordine sm) e di classe: 



s''-{-2s^ 



m' — (2s^ -\- s) m^ -\- Zs^m^ — sm. 



(*) F. Klein, nella Nota Ueber die Transformation elfter Ordnung der 

 -tlliptischen Functionen (* Math. Ann. „, 15, 1879, pag. 533), ha avuto occa- 

 sione (a pag. 545-546) di determinare per via affatto diversa il genere p 

 della curva doppia della Hessiana di una particolare forma cubica di S^ . 

 Egli trova p = 26, che è appunto il valore dato dalla (6) per n = 3. 



