TULLIO LEVI-CIVITA — SULL'INVERSIONE DEGLI INTEGRALI, ECC. 25 



SiilV inversione degli integrali definiti nel campo reale; 



Nota di TULLIO LEVI-CIVITA. 



In alcune ricerche di analisi pura e in moltissimi problemi 

 di fisica e di meccanica fa d'uopo invertire qualche integrale 

 definito. Si può anzi aff'ermare che non v'è ramo della fisica 

 matematica, in cui non si incontrino difficoltà di questa natura. 

 Con tutto ciò, per quanto almeno è a mia cognizione, non fu 

 ancora dedicata a siffatto problema alcuna indagine sistematica ; 

 se ne considerarono soltanto, in causa del frequente loro appa- 

 rire, alcuni casi particolari, per la cui trattazione furono da 

 varii autori proposti disparati artifizii. 



A tacere di alcune formule di Cauchy, che pur rientrano 

 in quest'ordine di studii, Abel, per il primo, da taluna ricerca 

 sul moto brachistocrono venne condotto ad un teorema di in- 

 versione, che porta il suo nome e che, come mise in chiara 

 luce il Prof. Beltrami (1), è suscettibile di forme svariatissime, 

 tanto che ad esso (finché si resta nel campo reale (2)) quasi 

 unicamente possono riportarsi i casi di inversione, che gli altri 

 autori hanno ritrovato. 



Molti di questi tuttavia presentano grande interesse per 

 la questione, che ne vien risolta e basterà ricordare tra i piìi 

 notevoli il teorema di Schlomilch (sugli sviluppi in serie pro- 

 cedenti per funzioni cilindriche di argomenti multipli) e le mol- 

 teplici applicazioni dello stesso Prof. Beltrami. 



Se io non mi inganno, eccedono il teorema di Abel soltanto 

 una generalizzazione di esso riportata da Sonine nelle sue " Re- 



(1) " Intorno ad un teorema di Abel „ (Reud. dell'Istituto Lombardo, 

 ser. II, voi. XIII). — " Sulla teoria della attrazione degli ellissoidi „ (Mem. 

 dell'Acc. di Bologna, ser. IV, tom. I). 



(2) Nel campo complesso la questione fu già discussa sotto aspetto più 

 generale da Abel e da Riemann; venne poi recentemente ripresa dal 

 Prof. Pincberle, dal sig. Hj. Mellin e da me stesso. 



