sull'inversione degli integrali definiti nel campo reale 27 



X b 



u{x) = \f{x — i/) v{y) dy e u{x) = jf{x — y)v{y) dy {aeb costanti). 



a o> 



Per la prima di queste relazioni, ammessa press' a poco 

 soltanto l'integrabilità della u e della f, immaginando data u{x) 

 in un intervallo qualunque [ab), assegno una espressione ana- 

 litica (cioè formata cogli ordinarli simboli di calcolo) atta a rap- 

 presentare v{j/) nello stesso intervallo; come casi particolari 

 ritrovo il teorema di Abel e la generalizzazione indicata da 

 Sonine. Per la seconda formula invece, giungo ad un risultato 

 utile, soltanto quando la u{x) è nota ed integrabile in tutto 

 l'intervallo ( — oo oo). 



Quanto alle equazioni caratteristiche d'ordine superiore al 

 primo, debbo rimetterne lo studio ad altra comunicazione, per 

 non oltrepassare i giusti limiti della presente. 



Spero che nel frattempo mi si offra anche occasione di ap- 

 plicare lo stesso metodo a qualche problema di fisica. 



1. — Data l'equazione: 



(1) u{x) = jf{x,y) v{y) dy, 



a{x) 



dove a{x),h{x),f{x,y),u{x) si suppongono funzioni conosciute 

 (le prime tre finite, continue e derivabili quanto occorre e la 

 u{x) integrabile in un intervallo pur dato), il problema di in- 

 versione consisto nel determinare una funzione v{y) atta all'in- 

 tegrazione, per cui la (1) riesca identicamente soddisfatta. 



Ogni qualvolta la funzione f{x,y), che si può chiamare ca- 

 ratteristica, soddisfaccia ad una equazione caratteristica a deri- 

 vate parziali e variabili separate del tipo : 



(2) I Al"' + 0W } /• = 



r» m 



(ah^ = ^Mx) 1^, 0^^' = "^^qAy) 1^ essendo forme 







differenziali lineari qualunque in x, y dell'ordine rispettivo n, m |, 



