sull'inversione degli integrali definiti nel campo reale 29 

 Avremo : 



d d h{x) 



j F . u{x) dx = i Fdx . { f{x,y) v{y) dij. 



e e a(x) 



Supponendo di poter in qualche modo invertire le due in- 

 tegrazioni rispetto ad x e ad y, la relazione precedente assu- 

 merà l'aspetto: 



d f m 



(6) i F . u{x) dx = i v{y) dy ( f{x,tj) Fdx, 



Si tratta ora (e a ciò si trova ricondotta tutta la difficoltà 

 della questione) di operare in modo che il secondo membro 

 della (6) divenga una rappresentazione integrale della funzione 

 v{y); in tale ipotesi infatti, il primo membro, che potrà riguar- 

 darsi conosciuto, fornirà l'inversione richiesta. 



In generale è noto (1) che: 



00 «^ 



fdt j^']t{y-z)i v{y)dy = v{z) (t < ^ < ò), 



'o ' y 



essendo v{y) generalmente finita e continua, ed integrabile nel- 

 l'intervallo (tò) e V funzione fluttuante. 



Se dunque si giunge a conoscere una funzione F {x, z, t) 

 tale che: 



ff{x,y) F{x,z,t)dx = ^'it(y-z)), 



(1) Hamilton, " On fluctuating function , (Transaction of the Royal 

 Irish Academy, voi. XIX, 1843. — Du Bois-Reymond, " Ueber die allge- 

 raeinen Eigenschaften der Klasse von Doppelintegraien, zu welcher das 

 Fourier'sche Doppelintegral gehort , (Crelle's Journal, B. LIX, 1868). — 

 C. Neumann, " Ueber die nach Kreis-Kugel- und Cylinder-Funktionen fort- 

 schreitenden Entwickelungen „, Leipzig, 1881; veggasi in particolare, 

 cap. 3, § 6. — Kronecker, " Vorlesungen iiber Mathematik „, Erster Band, 

 Leipzig, 1894, pag. 77. 



Atti della R. Accademia — Voi. XXXI. 5 



