32 TULLIO LEVI-CIVITA 



si attribuisce la forma canonica (1): 



Ui {xi) = jfiixi, yi) viitj^) d(/i 



ai(a!i) 



òxi ~^ òyi 



Scrivendo nuovamente x, ij, , al posto di x^, y^, , ed 



osservando che l'integrale generale di r^ -|- -^ = è f{x — y), 

 le due precedenti equazioni si possono sostituire con: 



b{x) 



(12) u(x) =jf{x—y)v (ij) dy, 



a{x) 



dove f è simbolo di funzione arbitraria. 



Finche i limiti di integrazione a{x) e b (x) rimangono inde- 

 terminati, il criterio generale di inversione, indicato nel prece- 

 dente §, non si lascia applicare alla (12) in modo da raggiungere 

 un risultato definitivo ; si possono però trattare esaurientemente 

 due casi notevoli {a=cost, b{x)=x; a,b=^cost), che molto spesso 

 si incontrano nell'analisi applicata. 



A questi due casi limiteremo il nostro studio, occupandoci 

 successivamente di determinare v{y) dalla equazione: 



X 



(13) u{x)= j f{x — y) V [y) dy, 



a 



ovvero dalla: 



h 



(14) u {x) = J f{x — y)v {y) dy. 



molti casi, contenute nella memoria del Prof. Pincherle: " Sopra alcuni 

 sviluppi in serie per funzioni analitiche „ (Mem. dell' Acc. di Bologna, 

 .ser. IV, tom. III. 



(1) Con ovvie modificazioni delle (11) si perviene a questo stesso risul- 

 tato, anche quando P(,{x) o 2o(!/) sieno nulli. 



