sull'inversione degli integrali definiti nel campo reale 33 



La ricerca consterà di due parti: 1° Ammessa l'esistenza 

 della funzione v{y), determinarne una espressione analitica. 

 2"* assegnare per questa espressione le condizioni di effettiva 

 validità. 



3. — Riferendosi alla (13) (1), suppongasi u{x) atta all'in- 

 tegrazione dell'intervallo (« co), si moltiplichino ambo i membri 

 della (13) per cos nt {x — z) dx e si integri fra a ed co. Verrà: 



1 cos nt {x—z) . u {x) dx = j cos ut {x — z) dx I f{x — y) v (y) dy, 



a a a 



od anche, invertendo le integrazioni colla regola di Dirichlet: 



00 00 00 



(cos Tit [x — z) . u(x) dx= \v (y) dy j f{x — y) cos tt^ {x — z) dx.^ 



a a y 



Se nell'integrale interno del secondo membro si assume 

 X = a; — y come variabile di integrazione e si pone: 



00 



(15) li{t) = jV(M cos Tra. ^\ 







00 



(16) * k{t) = \f{\) Senna, dX 



'o 



si ha immediatamente: 



j cos nt{x — z) u{x)dx^=: 



a 



00 ^00 



h{t) (cos nt{y—z) v{y) dy — A;(^) jsen tit {y—z) v{y) dy. 



(1) Nella (13) si è scritto J, supponendo, tanto per fissare le idee, a<a;; 



'a 



i risultati, che stabiliremo in appresso si dovranno senz'altro ritenere estesi 



6 



anche agli integrali del tipo J (x<&). Basterà infatti scambiare x in — x, 



X 



y in — )/, h in — «, f{\) in f{ — X), ecc., per essere ricondotti al primo caso. 



