sull'inversione degli integrali definiti nel campo reale 35 



che si giustificano un semplice cambiamento della variabile di 

 integrazione ; non è tuttavia fuor di luogo il notare come esse 

 si ritrovino, seguendo il concetto direttivo esposto a § 1. Ab- 

 biamo infatti, applicando le notazioni di allora al caso presente 



ed assumendo x(t) = i'^t- ^ — i'^t}^. = e ^^ + ^"^v = 0, 



-^ — t-ntpi = e ,- 



dx dy 



ossia v,(y) := g{t)e*''^^, la costante g{t) potendosi determinare 



00 



col fare // = nella: Vr(«/) = \f{x—u) M,(^) dx, ciò, che, pren- 



y 

 dendo |a;(.r) = e''^'^, dà: g{t)=^ | f{x)e''"-''dx. Ora, se si pone: 



"o 

 (j{t) = h{t) -|- ik{t), le funzioni ìi{t), k{t) coincidono con quelle 



00 



definite dalle (15), (16) e, scindendo la v, (//) = \f{x — y)\Xi{:x)dx 



y 

 nelle sue parti reale ed immaginaria, si ottengono le identità: 



00 



I fix — II) cos nix . dx = h{t) cos Tity — k{t) sen nty 



y 



\ f{x — //) sen -ntx . dx = k{t) cos -^ity -f- h{t) sen "ntìj, 

 y 



donde agevolmente le due riferite sopra. L'artificio, usato pre- 

 cedentemente nel dedurle, presenta il vantaggio di non esigere 

 la derivabilità della funzione f [x — y), che si presuppone invece 

 nel metodo generale. 



Ritenuto ciò, converrà riprendere l'espressione trovata sopra 

 per v{y) e verificarla mediante diretta sostituzione nella (13), 

 Finora infatti noi abbiamo stabilito che: 



— Se esiste una funzione di Fourier v{y) atta all'integra- 



X 



zione fra a e co, che rende j f{x — y) v(y)dy = u{x), essendo 



a 



u{x) pure integrabile nell'intervallo (a co); se la/", risguardata 

 come funzione di un argomento X, è generalmente finita e con- 

 tinua e integrabile in ogni intervallo finito, e se di più hanno 



00 



significato i due integrali: h{t) = J f{\) cos T^t\d\, k{t) = 



^00 'o 



j f(K) sen nt\d\ e non si annullano contemporaneamente per 



