36 TULLIO LEVI-CIVITA 



alcun valore di t compreso fra e oo, — sussiste la duplice 

 relazione (17), (18), ossia, più comodamente, cambiando a; in ^ 

 Q z in y: 



00 00 



(17') \dt fu {z) ^^^^ ''' ""'^'-1] + ^^If " "^^"-^^ dz = v{y) {y>a) 

 ^0 \ Ht) + kit) 



00 oo 



Reciprocamente importa di ricercare se, per una f, che 

 soddisfaccia alle condizioni sopra dichiarate, data ad arbitrio 

 una funzione integrabile u (e ci converrà qui aggiungere di 

 Fourier) il primo membro della (17') (di cui prescindendo dal- 

 l'ipotesi preventiva dell'esistenza di v, nulla potrebbe dirsi), 

 sostituito al posto di r nella (13), la renda identicamente ve- 

 rificata. 



Sarà per questo necessario, in conformità a quanto si è 

 detto sopra, che la (17') definisca una funzione di Fourier e che 

 sussista la (18'). D'altra parte però, come ora vedremo, queste 

 condizioni sono anche sufficienti. 



Avremo infatti dalle (17') e (18'). moltiplicandone ambo i 

 membri per f{x — y) ed integrando, rispetto ad y fra — oo ed x: 



X a; 00 oo 



\f{x-y)v(tj)dy=]f{x-y)dyjdt\u{z) -^ --.T_ --. ^^ 



a 



h{t) + k(t) 



,00 ,00 hU)^f(x—>j)cosTit{z—ì/)di/-\-k{t)^f(.v—tj)semit{z—y)dy 

 = \dt \u{z) --^ =^ =f^ dz; 



a 



hit) -1- k{t) 



ponendo nei due integrali interni x — y = ^, e ricordando le 

 (15) e (16) si ha immediatamente: 



X 



ffix—y) cos ■nt{z—y) dy = h{t) cos Tit{z—x) — k{t) sen nt [z—x) 



* _00 

 X 



{f{x—y) sen nt{z—y) dy = k{t) cos tt^ iz—x) -}- h{t) sen ut {z—x), 



