sull'inversione degli integrali definiti nel campo reale 37 

 donde segue: 



j f{x—y) v{ij) dij = ^dt j cos Tit{z — x) u{z) dz, 



a a 



ossia, applicando alla u il teorema di Fourier: 



X 



(13) u{x) = \ f{x — y)v{ìj)dij. 



a 



In questa dimostrazione, è bene notarlo, non sarebbe ne- 

 cessaria per v{i/) la restrizione d'essere funzione di Fourier, ma 

 basterebbe la integrabilità; tuttavia noi abbiamo aggiunto, come 

 faremo anche in seguito, tale restrizione, perchè, ricordando 

 quanto si è visto al principio di questo §, siamo così in grado 

 di asserire che quando esiste una soluzione della (13), essa è 

 necessariamente esprimibile per mezzo della (17') e quindi unica. 



L'inversione della (13) offerta dalla (17') è suscettibile di 

 una modificazione assai notevole, la quale permette di asse- 

 gnare la incognita funzione v{i/) per valori di y compresi in un 

 intervallo prefissato {ab), mediante la sola conoscenza dei valori 

 di ii{x) relativi allo stesso intervallo. 



Suppongasi infatti data u {x) fra a e b; si può immaginarne 

 una estensione fittizia oltre b, ponendo per es. u{x)= 0, x>b. 

 La funzione u{x] riesce così determinata in tutto l'intervallo 

 (a 00) e vi soddisfa alle condizioni di Fourier: quindi, ogniqual- 



X 



volta esista una funzione v{i/), per cui: if{x — y) v{ij) dy =^ u{x), 



X n 



{a<x<b), e \f{x—y'' v{y) dy =0, {x > b) , sappiamo già che 



a 



dovrà essere: 



00 00 



\'dt Uz) mcosm{z-y)-lHtUenn{z-y) ^^ _ ,^. ^^ ^ ^ ^ 



a 



h{tY + k{t) 



Ut Uiz) m^osm{z-y) + mj^nnt{z-y) ^^ _ ^ ^ 



