38 TULLIO LEVI-CIYITA 



cioè, nel caso nostro: 



00 * 



/-in\ r 7^ r / \ h{t) cos ■nt{z — y) -\- k{t) semit{z — t/) , / \ / ~. \ 



(19) I dt \u{z) -^ \.--y"r 'y. —^ d^ = <ìl) («/>«) 



00 6 



(20) j'^^ j; (^) m<^o.m(z-y) + WU,n.t{z-y) ^^ _ q . ^^^^ ^ ^^) 



'q ^„ ^(0 + J^'(<) 



inversamente poi si prova come sopra che, qualora la (20) sia 

 soddisfatta e la (19) definisca una funzione di Fourier v{y), essa 

 r{ij), per x compreso fra a e b, verifica la (13). 



Noi abbiamo così stabilite le condizioni necessarie e suffi- 

 cienti affinchè sia invertibile la (13) -per una determinata fun- 

 xione u nota fra a e h e supposta nulla oltre h. Tuttavia può 

 ancora accadere che, per qualche funzione u data fra a e h, 

 la (19), la quale presuppone l'accennata estensione oltre h, non 

 abbia alcun significato, mentre invece esista una v{ij), che rende 

 soddisfatta la (13). Di ciò daremo un effettivo esempio nel § 

 seguente. 



Sotto le solite ipotesi vi hanno altresì (e queste presentano 

 il maggior interesse) funzioni caratteristiche f, per cui la (13) 

 è invertibile, comunque si assegni la funzione ti nell'intervallo 

 (aoo): Vediamo in qual modo si possa riconoscere codesta in- 

 signe proprietà. 



Si osservi che, se u può essere fissato a piacere, dovrà 

 sussistere la (20), anche prendendo u{z) ^=0 {a<z< e), u{z) = 1 

 {c<z<d), u{z) = {z> d), qualunque sieno e e d. Ciò dà: 



(21) (dt ( " ^ ^"^ ^^^^~^i + ^^'iT "'^'~-'^ dz = {ij< a), 

 •q \ Mt) + k{t) 



o se si vuole, eseguendo l'integrazione rispetto a, z e tenendo 

 presente la (19): 



00 



fh(t) I sen TTt{d — j/) — sen Tr^(c— j) | — k(t) } cos Tit{d— y) — cos Tt^(c — y) ì 

 Tlt I h{t) + k{t) \ 

 



{y < e). 



