sull'inversione degli integrali definiti nel campo reale 39 



Reciprocamente però, come ora vedremo, la (20) si trova 

 soddisfatta per ogni funzione u di Fourier, qualora sia verifi- 

 cata la (21) per una qualunque coppia di numeri e e d maggiori 

 di a: Sarà questo pertanto il criterio cercato. 



Noi ci limiteremo per brevità a considerare nella dimo- 

 strazione il caso che u sia generalmente finita e continua, in- 

 tegrabile e senza infiniti massimi o minimi; il risultato si in- 

 tenderà senz'altro esteso a qualunque funzione di Fourier mediante 

 il metodo seguito dal Du Bois-Reymond (1). 



In primo luogo sia u finita in tutto l'intervallo (ab); aven- 

 dosi ammesso che essa è generalmente continua e dotata di un 

 numero infinito di massimi e minimi, si potrà scindere l' inter- 

 vallo (ab) in un numero finito di segmenti tali che entro cia- 

 scuno di essi sia u{z) continua e mai crescente o decrescente. 



Dicasi generalmente (yò) uno di questi segmenti; potremo 

 scrivere : 



oc * 



-0 '[ M0'+ k{tf 





In ciascun intervallo (yò), essendo u{z) finita e mai cre- 

 scente decrescente e l'altro fattore (trigonometrico) integra- 

 bile, è lecito applicare il secondo teorema della media, dal che 

 si trae: 



r-.h{i)cos-nt{z—ij)Ark{t)&en-nt{z — y) , 



li 1^1 ZZZn Iir^ U/Z 



h{tf + k{tf 



j 

 ( \ C h{t) Q,o^nt{z — y) -{- k{t) sen'nt{z — y) ^ ■ 



^ ^! M7)'+ k(tf ^ 



(1) Loco citato. 



