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e quindi: 



i dt \u {z) 



cos ntiz — «/) h{t) -\- kit) sen irtiz — >/) _, 



a 



Htf + kit)' 



co 7 



Z.. (■^\ Crìi r ^(^) cos Tit{z—y) + k{i) sen ttì^(^— y) , _| 

 " *'' •'.''* \ WTTW + 



dove il secondo membro è nullo in causa della (21), come si 

 era asserito. Allo stesso risultato si giunge poi anche se la fun- 

 zione u, pur mantenendosi integrabile, diviene infinita in qual- 

 che punto a dell' intervallo [a b) : infatti, escludendo questi punti a 

 mediante piccoli intorni (a' a") si può fare in modo che la por- 

 zione di integrale (20), relativa al complesso di tali intorni, sia 

 in valore assoluto minore di una quantità e prefissata arbitra- 

 riamente piccola; dividendo poi l'intervallo totale [ah), esclusi 

 gli intorni (a' a"), in segmenti (yb), si trova, ragionando come 

 sopra, che i relativi integrali si annullano, quindi il primo mem- 

 bro della (20) può rendersi in valore assoluto minore di e, per 

 quanto si scelga piccolo e. Ciò basta per potere, anche nel caso 

 presente, concludere giusta l'enunciato. 



Sarà opportuno riassumere quanto si è trovato finora nel 

 seguente : 



Teorema. — Sia f{\) funzione dell'argomento X finita e 

 continua in tutto l'intervallo (0 co), integrabile in ogni intervallo 

 finito e tale che riescano convergenti i due integrali h (t) = 



co 00 



j f{\) cos TxtXdX, k{t) = i f[}) sen ixtXdX e non si annullino 

 "o "o 



contemporaneamente per alcun valore finito di t; sia u{x) funzione 

 di Fourier nell'intervallo (ab) ; è necessario e basta affinchè, ponendo : 



00 " 

 /-in\ / \ r ij. (' / \ hit) COS titiz — y) -\- k{t) senitt iz — j,') , . -,. 



(19) viyij) = dt \u{z) -^ ^-2 ,7-2 dz {a<y<b), 



'{j ^^ hit) -\- kit) 



riesca soddisfatta la (13), che: 



