sull'inversione degli integrali definiti nel campo reale 41 



1"^ Il secondo membro della (19) rappresenti nell'intervallo 

 [ab] una funzione di Fourier. 

 2" Si abbia, per ij<a: 



(20) Cdt ^U{z) ^^^i)^OB^t{z-y)-\-HtUen^t{z-y) _ 



La (20) si trova verificata identicamente, qualunque sia la 

 funzione di Fourier u(z), le quante volte, per ogni coppia c,d com- 

 presa fra a e b e per y <.a, sussista la relazione : 



00 d 



C'I) idt i ^^*^ ^^^ ^^ ^"~^^ "^ ^ ^^^ ^^" ^^ ^^~^^ d == 



'l '^l A(?+ kiif ^"^ • 



Tenuto conto delle ipotesi restrittive da noi introdotte, si ha 

 ancora, per è = oo(pag. 15), oppure, per b qualunque, quando sia 

 soddisfatta la (21): Se esiste una funzione v{y), che soddisfaccia 

 alla (13), essa è unica e rappresentabile sotto la forma (19). 



In sostanza, prescindendo dalla continuità, integrabilità ecc., 

 la (20) può risguardarsi come la condizione necessaria e suffi- 

 ciente per l'invertibilità della (13), qualunque sia u. 



In modo del tutto analogo (veggasi la nota al principio di 

 questo §) si stabilisce che, per soddisfare all'equazione: 



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u{x) = I f{x — y) v(y)dy, {d<x<b), 



X 



basta porre: 







h{t) = JY(X) cos -ntXdl, 



k{t) = JV(X) senTtaf^X, 



*■_. co 



00 b 

 v{y) = (dt (' MO CCS nti.-jj) + HtUen .tjz-y) ^^^^^ ^^^ 

 J -; h{t} + k{t) 



purché si abbia per y > b: 



r^ (; U) h(t) POS m{z-y) + msenntiz-v) ^^ _ o ; ecc. 



