sull'inversione degli integrali definiti nel campo reale 43 

 converrà nel caso presente aggiungere l'ipotesi die la funzione 

 u[x) si annulli per x = a e per x = b, sia in tutto l'intervallo 

 (ab) finita e continua e ammetta in ogni punto derivata prima 

 soddisfacente alle condizioni di Fourier. Avremo allora: 



00 



j dtj u'{z) cos T\t{z—y) dz = u'{y), {a < y < b), 



'o a 



00 b 



\dt \u'(z) cos nt{z—y) dz = , [y < a). 



a 



Integrando per parti rispetto a ed osservando che i ter- 

 mini ai limiti svaniscono, verrà: 



oc * 



( dt ^u{z) .-nt . sen ut{z—y) dz = u'(y), (a < y < b), 



a 



ce 6 



\dt \u{z) .nt . sen Tit [z — y) dz =^ , (y < a). 



a 



Questi valori, portati nella (20i), ove si abbia ancora ri- 

 guardo al teorema di Fourier, la verificano identicamente, di 

 più la (19i) diviene: 



(19'i) v{y) = u(y) -f u'{y) 



e sotto questa forma è manifesto che v(y) sarà funzione di 

 Fourier. 



Alla (19'i) si poteva arrivare più semplicemente in modo 

 diretto, partendo dalla (13i). Infatti, moltiplicando per e'' e de- 

 rivando, si ottiene: 



~d^ = ^^(^)' 



ossia precisamente v{x) = u{x) -}- u'{x), la quale, come si ve- 

 rifica subito, purché sia u(a) = (), soddisfa alla (13i). È inte- 

 ressante osservare che in questo modo non occorre affatto 

 supporre u (b) = 0, mentre prescindendo da tale ipotesi , la 

 soluzione espressa dalla (19J perde ogni significato. Ove infatti 

 il secondo membro della (19i) rappresentasse una funzione ge- 

 neralmente finita, essendo 



