44 TULLIO LEVT-CIVITA 



^i^) = ^iiy) + ) ^^ \u{z) . nt . sen rtt {z—y) . dz, 



a 



lo stesso dovrebbe accadere per l'integrale doppio 



00 i 



\dt \u{z) .ut . sen ut {z—y) dz 



'o 'a 



e, siccome si ha: 



00 }> 



u' (y) = \ dt ^ u' (z) cos Tit {z — y)dz, 



'O 'a 



si dedurrebbe, integrando come sopra per parti, la convergenza di 



00 



u {b) I cos T\t [b — y) dt , 

 "o 

 ciò che è assurdo. 



Si ha con ciò un esempio della possibile esistenza di una 

 funzione di Fourier v(y), che soddisfa alla (13) in un intervallo 

 finito (1) {ab) e non è rappresentabile mediante l'espressione (20). 

 Questa circostanza può presentarsi, come risulta dal precedente §, 

 soltanto per quelle funzioni caratteristiche f, che non soddis- 

 fanno alla (21). Qui infatti il primo membro non soltanto non 

 si annulla, ma non ha nemmeno un senso determinato; segue 

 in particolare che non si può risolvere la (13]) per una fun- 

 zione u{x), che sia 1 in un certo segmento [ed] e nulla al 

 di fuori. 



5. — Poniamo, come seconda applicazione, nella (13), 

 f{\) = ^,p essendo compreso fra Gel. 



La funzione -r— è integrabile in ogni intervallo positivo 

 finito, finita e continua ovunque, eccettuato soltanto il punto ; 



00 co 



,. .^ . 1 . , T fcos Tt^X 7» rsenutX ,» ,. 



di più 1 due integrali ) — j- — «A, | — -- — ah sono convergenti 



(1) Per un intervallo infinito (a CO), sappiamo invece che ciò non può 

 accadere. 



