48 TULLIO LEVI-CIVITA 



nota, di un celebre teorema di Abel. Il Sonine (1) le attribuisce 

 l'aspetto, solo apparentemente diverso, di una rappresentazione 

 integrale della funzione u; per ricavarla, basta sostituire la 

 precedente espressione di v{y) nella (182), ciò, che dà: 



sen^TT /* dy C" ti'{z) 



(^\ _ senj?TT , , r dij ■ seiij?T T ( ' dy i 



{y-zY--' 



dz. 



Ponendo - — - = s, l'integrale ( ~, r— ^ zr^ diviene 



x—a ° J (x — f/)P (y — ay-P 



a 

 1 1 



J gi-P (i_g)p =js^-'{l—sy-P-' ds, cioè, per definizione B{p, 1—p), 



B designando la funzione euleriana di prima specie; ma, per 

 una nota proprietà di queste trascendenti, B(p, 1 — p) = 

 r(2>)r(l-i))=^-^; quindi: 



X y 



ii[x) u(fl} — ^ }{x-yfj {y-zY-v ' 

 a a 



che è la forma, cui si alludeva sopra e che immediatamente si 

 potrebbe ridurre a quella assegnata da Sonine. 



Come caso particolare, per p = —, si hanno le due re- 

 lazioni equivalenti: 



u(x) = (-M. dy 



a 



V 



I t \ \ d ^ ii{z) j 



cioè il teorema di Abel. 



(1) Loco citato; art. 48. 



