50 TULLIO LEVI-CIVITA 



e operando come a § 3, collo scambio di a; in 3: e di 2 in y^ 

 senza difficoltà si deduce: 



00 00 



(25)' (1 fuiz) M ^) cos ^t{z-j) + A.,(^^sen ^ti^-y) ^,^,^^^^ {a<t/<b) 

 J J hi{t) + ki{t) 



(26) (dt iuiz) ^^^^^ ''' "^^"~4^ + ^'^'Ir "' ^'~'^ eh = 0, (y>b). 



'-00 ^'1^^^ + ^^^^^ 



Dunque, se esiste una funzione di Fourier, atta a verificare 

 la (14), essa è necessariamente rappresentabile sotto la forma 

 (25); oltre a ciò debbono valere le due relazioni identiche (24) 

 e (26). Inversamente, se queste relazioni sono soddisfatte e se 

 la (25) definisce una funzione di Fourier, portandola nella (14), 

 con riduzioni analoghe a quelle indicate per la (13), si ripro- 

 duce effettivamente la funzione u{x). 



In questo modo non soltanto si è risoluta l'equazione fun- 

 zionale (14), ma si è anche trovato un criterio per decidere 

 della sua possibilità. 



Il procedimento presenta però il gravissimo inconveniente 

 di esigere la conoscenza e l'integrabilità della funzione u{x) in 

 tutto l'intervallo ( — x),oo), mentre nelle applicazioni accade il 

 più delle volte di conoscere la funzione u{x) unicamente nel- 

 l'intervallo di integrazione [ab). 



Si potrebbe bensì ricondursi a questo caso, con una con- 

 dizione addizionale, come si è fatto nell'altro problema (for- 

 mula (21)), ma la pratica applicabilità di questo espediente sa- 

 rebbe ora pressoché nulla. Giova dunque, rispetto alle questioni 

 di analisi applicata, riservare il metodo per il caso che l' in- 

 tervallo di integrazione sia ( — co, 00), nella quale ipotesi la 

 funzione u{x) viene ad essere conosciuta, come è per noi ne- 

 cessario, in tutto il campo reale; di più le due condizioni (24) 

 e (26) relative alla possibilità del problema vengono a mancare 

 e la v{ì/), definita dalla (25), purché dotata delle volute pro- 

 prietà, soddisfa certamente alla (14). 



