158 GIUSEPPE PEANO 



dimensioni, se sonvi n enti indipendenti, e non ve ne sono n-j-l. 

 Se il sistema è ad w dimensioni, e «lag ... a„ sono n enti indi- 

 pendenti, ogni ente del sistema si può ridurre alla forma 

 mitti -\- ... -j- m„an, ove miìn.2 ... m^ sono numeri reali. 



Una corrispondenza fra gli enti di due sistemi lineari di- 

 cesi una trasformazione lineare, od operazione distributiva, se^ 

 essendo ax l'ente corrispondente all'ente x del sistema dato, 

 si ha (3.{x-^y) = ax -\- ay, qualunque siano gli enti x q y del 

 sistema dato; e o.{mx) = max, qualunque si sia il numero 

 reale m. 



§ 2. — Vettori. 



Useremo la lettera V invece della frase " vettore contenuta 

 in un piano dato „ . Essendo a, b due V, è definita la loro somma, 

 che è pure un vettore, ed essa ha la proprietà commutativa e 

 associativa: 



1. a,b ^Y . ';} . a -^r h^Y . a -\- b = h -{- a. 



2. a, b, e ^Y . ';} . a -\- [b -\- e) =^ [a -{- b) -{- e =■ a -\- b -\- e. 



Essendo a un Y, ed un m numero reale (q), ma rappresenta 

 pure un vettore: 



3. aeV . meq . q . waeV. 



4. «, JeV . m, weq . . m{a -\-b) =■ ma -\- nib . {ni -j- w) a = 



ma -f- na . m (na) = {mn) a, = fnna. 



Fisseremo ad arbitrio un vettore i, la cui lunghezza assu- 

 meremo come unità di misura; e chiameremo j un vettore eguale 

 in lunghezza ad i, e normale ad i; l'angolo retto {i,j) si dirà 

 130sitivo. Allora ogni vettore u del piano si può ridurre alla 

 forma xi -\- yj, e ciò in un sol modo. Ne risulta che V è un 

 sistema lineare a due dimensioni. 



Qualche volta useremo il prodotto esterno dei due vettori 

 a e b, indicato con ab. Potremo in questa nota intendere con ah 

 il numero che misura l'area del parallelogrammo costrutto sui 



