TRASFORMAZIONI LINEARI DEI VETTORI DI UN PIANO 159 



due vettori a e b, essendo l'unità di misura in grandezza e 

 in verso il quadrato ij. Si ha quindi: 



5. a, beY . 3 . aèeq. 



iy. a, b, ceY . Q . nb ^ — ba . [a -\- b) e = ac -\- bc. 



7. a, è, e e V . 3 . (bc) a -j- (ca) b -f- (ab) e = 0. 



S. X, tj, x', //'€ q . . {xi 4- i/j) {x'i + ì/j) = xy' — x'y. 



La condizione di parallelismo dei due vettori a e b e ab = 0. 



§ 3. — Sostituzioni. 



Una trasformazione lineare dei V in V dicesi una sostitu- 

 zione. Useremo la lettera S invece della parola sostituzione. 

 Le S sono quindi definite dalle seguenti proprietà: 



1. aeS.aeV.Q.aaeV. 



2. aeS . a, beY . ^ . a{a -\- b) = aa -]- ab. 



3. a e S . aeY . me q . Q . ama = maa. 

 Ne risulta che: 



4. aeS . ai = i' . aj = f .x,yeq.o -a {xi -\- yj) = xi' + yj . 



Quindi per conoscere la sostituzione a, basta conoscere i 

 vettori i' e / corrispondenti ad i e ad /. Indicheremo con 0,*y) 

 la sostituzione che ad i e ad j fa corrispondere i' e /. Invece 

 di dare i vettori i' e/, possiamo darne le coordinate i' =pi -\- qj, 

 f = p'i + q'J ; indicheremo con [2},q; y, '/'] la sostituzione 

 ^pt-^qj.pt-^qjy j numeri ^;, q, p', q' diconsi i coefficienti della 

 sostituzione. 



