160 GIUSEPPE PEANO 



§ 4. — Operazioni sulle sostituzioni. 



Se a, PeS . aeY, si scrive (a -j- P)« invece di aa -f- Pa. 

 L'operazione a -|- p è pure una sostituzione: 



1. a, peS . . a -f- p eS. 



2. i'J', i",j"eY . . G';f) + Ci:f) = C't'V'/O. 



3- i?, q,p', q'^Pi, 'II, p'i, 2'ieq • . [p, t^p'a'ì + [i^^ 2i;/i, 2'i]== 

 = b +i^i. 1 + <iù p' -\-p\, q' + ?'i]- 



Nelle stesse ipotesi paa sta per indicare P(aa); l'operazione 

 Pa è pure una sostituzione: 



4. a, peS . 3 . paeS. 



r :t :r -n ;"^ Tr ^ ^•"' -A <'•'• A /■'"• -'"'i 



^- ^, J , i , J ^^ ■ ■ u,j') U, j) — \i,i )• 



La moltiplicazione delle sostituzioni ha la proprietà asso- 

 ciativa, e la distributiva rispetto all'addizione; ma non è in 

 generale commutativa. Quindi, p. e., si avrà ancora: 



(a + p)^ = a2 -}- «p + pa + P', 



ma il secondo e terzo termine non si possono più ridurre fra 

 loro. 



La moltiplicazione d'un vettore per un numero reale m è 

 una sostituzione: 



m 



= (f:7) = ['«,0; 0, m]. 



Quindi, se a, p, . . . sono sostituzioni, m, n, ... sono numeri 

 reali, ma -\- wp -f- •■• rappresenta pure una sostituzione. Essendo 

 Pi 1, P' •> 9.' delle q, si ha: 



b, ?; p\ i'ì = p (o°) + 2 «?) + p' (?;) + 5' G'j)- 



