TRASFOKMAZIONI LINEARI DEI VETTORI DI UN PIANO 161 



Ne risulta che le S formano un sistema lineare a quattro 

 dimensioni. 



Senza difficoltà si definiscono le altre operazioni sulle S; 

 ci limiteremo alla definizione dell'esponenziale: 



6. aeS . . 6^ = 1 + a 4- ^ + ^ + 



2 ! ' 3 ! 



La dimostrazione della convergenza di questa serie, qua- 

 lunque si sia la sostituzione a (anche in sistemi lineari a più 

 dimensioni), trovasi, p. e., nel mio articolo Integration par séries 

 des éqiiations différentielles linéaires (" Mathematische Ann. „ , 

 XXm, p. 450). 



§ 5. — Forma canonica delle S. 



Essendo u un vettore, con \u intenderemo ciò che diventa w, 

 dopo aver rotato dell'angolo retto positivo. Sicché: 



1. \i=j . xj= — i. \z= {^i 7) . v2 z= — 1. 



Quindi la sostituzione i ha la proprietà caratteristica del- 

 l'unità immaginaria. Se .r, ?/eq, allora x -\- \y rappresenta una 

 sostituzione ; e questa interpretazione degli immaginarli, alquanto 

 diversa da quella comune di Gauss, è affatto elementare, e si 

 può introdurre nell'insegnamento, utilizzando cosi in ricerche di 

 geometria, la teoria algebrica dei numeri immaginarli. 



Essendo u un vettore, con k« intenderemo il simmetrico 

 (o coniugato) di u rispetto al vettore t. Quindi: 



2. kì = ? . KJ = — j . K = Q 7) . K^ = 1. 



Mediante le due sostituzioni i e k si possono esprimere 

 tutte le sostituzioni ; e precisamente ogni sostituzione a si può 

 ridurre alla forma : 



a = m + -^^^ 4" ^'^ + ^^^ì 



