162 GIUSEPPE PEANO 



ove w, X, y, z sono numeri determinati. Questa forma cui si 

 possono ridurre le S si dirà loro forma canonica. Si ha: 



3. [;), ^; /, 2'] = \ {v-^i) -^ \ ^q.— P'Y + 



+ -|- (iJ — ?') K -h -|- (2 +/)iK. 



4. w -|- a^i -f- yK -\- siK = [m 4" ^^ X -^ z; z — x, m — y\. 

 Data una seconda sostituzione: 



a' = m! -\- x'\ -\- i/'k -j- z'wi, 

 ove m', x\ if' , z' sono q, si avrà: 



5. a + a' = {m + m') -^ [x^ x') x -^ [y ^ y') k + (0 + z^)xk. 



Per moltiplicare due sostituzioni date sotto forma canonica, 

 basta osservare le regole: 



i^ = — 1, K^ = 1, Kl = — IK, 

 donde 



IKl = — K, KIK := — l, IKIK = 1. 



Quindi : 



6. a'a = {mm' — xx' -\-yy' -\- zz) -\~ [m'x^x'm — y'z-\-z'y)\-\- 



{m'y -\- y'm — x'z -\- z'x) k -}- {m'z -\~ mz' -j- x'y — y'x) ik. 

 Come caso particolare: 



7. a^ = m^ — x"^ -\- y- -\- z^ -\- 2mx\ -\- 2myK -\- 2mzivi. 

 Si deduce l'identità: 



8. a^ — 2ma -\- {m^ -}- x^ — y^ — z^) =■ 0, 



che permette di esprimere il quadrato di a, e quindi le sue 

 successive potenze, mediante a. 



