TRASFORMAZIONI LINEARI DEI VETTORI DI UN PIANO 163 



Sono ancora a notarsi le formule: 



§ 6. — Invariante e determinante d'una sostituzione. 



Sia a una S. Presi ad arbitrio due vettori i e j, il rapporto 

 dell'area (ai) (a/) all'area ij è indipendente dalla scelta dei 

 vettori i e j. K questo rapporto daremo il nome di determinante 

 di a, e lo indicheremo con det a. Si ha: 



1. - aeS , i, jeV . Q . (ai) (aj) = ij det a. 



2. det \^p, q; p', q'] = pq' — y^. 



3. det (w -{- XI -\- yK -\- zik) = m"^ -j- x'^ — y^ — z^. 



4. det (aa') = det a X det a'. 



Mettendo a ed a' sotto forma canonica, e applicando le 

 formule 3 e 4 si ottiene l'identità: 



(,n2 J^-x"^ — t/ — z2) (^,^'2 _|_ y.'2 _ p _ ^'2) ^ 



= [mm' — xx' -\- yy' -j- zz'Y -{- {m'x -f- x'm — y'z -j- z'y)- — 

 — (w'y/ -j- y'm — x'z -\- z'xf — {m'z -f- mz' -\- x'y — y'xY 



analoga a quella di Eulero, e che si può anche dedurre da quella 

 di Lagrange. Un numero m rappresenta una sostituzione parti- 

 colare, e si ha: 



