164 GIUSEPPE PEANO 



5. meq . . det m = m^, 



6. det i = 1, det K = — 1. 



Se a è una S, e i^ un numero, a -|- ^ è una S, ed il suo 

 determinante si può sviluppare sotto la forma det (a -j- ^) = 

 A -\- 2Bi -}- t^, ove A e B sono dei numeri. A vale evidente- 

 mente det a; il coefficiente B di 2t lo diremo l'invariante di a, 

 e lo indicheremo con inv a. Si ha pertanto: 



7. aeS . ^eq . 3 . det [a -\- t) = det a -\- 2t mv a -\- t^. 



L'invariante, espresso mediante i coefficienti della sostitu- 

 zione, vale: 



8. inv [p, q ; p', q'] =z — (p -\- q'). 



Se la sostituzione è data sotto forma canonica, si ha: 



9. inv {m -]- x\ -\- i/K -\- zik) = m. 



Se la sostituzione è data mediante le coppie i, j, i', f, di 

 vettori corrispondenti, si ha: 



10. inv ^^''-^"^ - ''^'' 



i ,j ì ^ij 



11. inv (a -j- a') = inv a -j- inv a'. 



12. aeS . iweq . 3 . inv {ina) = m inv a. 



13. a, a'e S . . inv (aa') := inv (a'a). 



14. aeS . . det e^ = e^mv^e^ 



15. aeS . 3 . a = inv a — i inv (la) -\- k inv Ka -\- \k inv (iKa). 



La formula (8) del § 5, tenendo conto delle (3) e (9), si 

 può leggere: 



16. a^ — 2 (inv a) a -j- det a = 0. 



