TRASFORMAZIONI LINEARI DEI VETTORI DI UN PIANO 165 



§ 7. — Sostituzioni particolari. 



Fra le sostituzioni alcune meritano menzione speciale. 



1. Involuzione. — Si chiamano involuzioni le sostituzioni 

 il cui invariante è nullo. Ogni involuzione è della forma x\ -f- 

 ifK -f- 'S'iK. La somma di due involuzioni è un'involuzione. Le 

 involuzioni formano quindi un sistema lineare a tre dimensioni. 

 Ogni sostituzione è la somma d'un numero reale m, suo inva- 

 riante, e d'una involuzione. 



2. Rotazione. — Essendo u un V e ^ una q, e»*w rappre- 

 senta il vettore che si ottiene facendo rotare u dell'angolo t. 

 Quindi e^t = cos t -{- i sen ^ rappresenta la rotazione dell'an- 

 golo t. Il prodotto di due rotazioni è una rotazione. 



3. Una similitudine diretta è rappresentata dal prodotto di 

 un numero r per una rotazione e^i , quindi è della forma re^i; 

 essa si può pure ridurre alla forma w -j- xi. Esse corrispondono 

 ai numeri complessi dell'algebra; formano quindi un sistema 

 lineare a due dimensioni. 



4. Simmetria. — II vettore simmetrico di u rispetto al vet- 

 tore fisso i fu indicato con ku; quindi k rappresenta una sim- 

 metria rispetto al vettore i. Per avere il simmetrico di u rispetto 

 ad un asse che faccia con i l'angolo t, basta far rotare u del- 

 l'angolo — t, e si ha e—^^u, poi se ne fa il simmetrico rispetto 

 ad i, e si ha Ke— 1<«, e infine lo si fa rotare di nuovo dell'an- 

 golo t, e si ha gi^Ke— i^w. Dunque la simmetria rispetto all'asse 

 che fa l'angolo t con i è rappresentata da ei< Ke— i^ ^e^i^K z=Ke~-^K 

 Dunque ogni simmetria è il prodotto d'una rotazione per la 

 simmetria particolare k. 



5. Similitudine inversa. — Essa è il prodotto d'una sim- 

 metria per un numero r; quindi ha la forma re ^k; si può pure 

 rappresentare con i/k-\- zik. Ogni sostituzione ni -{- x\ -]- yy^-\- z\k 

 è la somma di una similitudine diretta m -\- x\ e d'una inversa 



IJY. -\- Z\K. 



6. Dilatazioìie. — Chiamasi dilatazione ogni sostituzione 

 riduttibile alla forma ( "" ,'" |, ove u è un vettore e a eb sono 



