312 VITO VOLTERRA 



2. Per maggior chiarezza riassumo i risultati nel seguente 



Teorema. — Se si ha {tiel campo reale) la equazione fun- 

 zionale 



(1) m -m =\y{x)Rix,y)dx 



in cui f(y) e f (y) si mantengono finite e continue per y compreso 



fra a e a -{- A; e H(x, y) e y- = HgCx, y), sono pure finite 



e continue per tutti i valori di x e j compresi entro i limiti a e 

 a -f- A , mentre è maggiore di zero il limite inferiore dei valori 

 assoluti di h (y) = H (y, y) per y compreso nello stesso intervallo, 

 esisterà una ed una sola funzione finita e continua qp che soddisfa 

 l'equazione funzionale per y compreso fra a e a. -\- K, la quale 

 sarà data da 



(2) vw=^;-4j>)|s,fey)<ix 



in CUI 



(3) 



J y 



S»fe2') = ^- 



Dimostrazione. — 1° Cominciamo dal dimostrare che la serie 



00 



(4) ^i^i{x,y) 







è convergente in egual grado per tutti i valori di a;, y compresi 

 fra a e a -|- A. 



— Sulla teoria dell'attrazione degli ellissoidi (Mem. Acc. di Bologna, 

 S. IV, T. I). — Sulle funzioni associate e specialmente su quelle della 

 calotta sferica (Ibid., S. IV, T. IV). 



DiNi, Sulla rappresentazione analitica delle funzioni di una variabile reale date 

 arbitrariamente in certi intervalli (Gap. VII. Annali delle Università 

 Toscane, T. XVIl). 



Sonine, Sur la généralisation d'une formule d'Ahel (Acta Mathematica, T. IV). 



— Recherches sur les fonctìons cylindriques (Math. Ann., Bd. XVI). 

 Volterra, Sopra un problema di elettrostatica (Transunti Acc. Lincei. S. III, 



voi. Vili). 

 Nel campo complesso cito fra gli altri i lavori del Prof. Pincherle. 



