314 VITO VOLTERRA 



Nn co 00 rx 



Ma se in G noi facciamo ìj = x, otteniamo l'unità, quindi 

 possiamo concludere che si avrà sempre 



G = 1 



e perciò ritornando alla equazione (1'), otterremo 



(1") j'% {x)^{x,tj) dx = jl f {x) = f{y)- f{a). 



La q>{y) ricavata dalla (2) soddisfa dunque la (1). 



3" Dimostriamo finalmente che non vi può essere che una 

 sola funzione finita e continua cp che soddisfi l'equazione fun- 

 zionale. 



Ammettiamo che ne esistano due qpj e 92» ciascuna delle 

 quali sia in valore assoluto inferiore a P. 



Posto 



V (a?) = qpi (^) — 92 (^) 

 avremo 



= \\\){x)'H.{x, y) dx 



e derivando rapporto a y 



= vp(y) h{y) 4- J %(^) ^2{x,y) dx 

 onde 



(6) ^{y)=z— :^ J% {x) H.2 {x, ìj) dx 



e per conseguenza 



e così di seguito si potrà procedere indefinitamente sostituendo 



