316 VITO VOLTERRA 



il concetto di integrale ci porta facilmente a riguardare la que- 

 stione di analisi funzionale rappresentata dalla (1) come un 

 caso limite della risoluzione di un sistema d'equazioni analogo 

 al precedente. In esso le a^^ e le a^i sarebbero le analoghe delle 

 B.{x,y) e delle H(^,^) = h{y). 



Ora il determinante dei coefficienti nelle precedenti equa- 

 zioni ha nulli tutti gli elementi situati alla destra della diago- 

 nale ed è quindi diverso da zero quando nessuna delle au si 

 annulla, e quando ciò si verifica la soluzione del sistema è 

 possibile ed univoca. 



L'analogia però si arresta qui, perchè mentre la condizione 

 che le «ii siano tutte diverse da zero non solo è sufficiente, ma 

 è anche necessaria per la risolubilità e la univocità delle solu- 

 zioni, lo stesso non può dirsi del non annullarsi di h {y). Si 

 osservi infatti, per esempio, che, ammesso h{y) = per tutti 

 i valori di y compresi fra a e a -j- A, la equazione funzionale (1) 

 può scriversi mediante una integrazione per parti 



in CUI 



<ì){x) = — jy {x) dx, Hi = ^^ 



Quindi se Hj {x, y) avrà le stesse proprietà che prima ave- 

 vamo posto per H (ic, y), e sarà f (a) = 0, si potrà determinare 

 univocamente la 0(a;) e quindi con una derivazione successiva 

 ^{x) quando questa derivazione può effettuarsi. 



4. I termini della serie (4) godono di una notevole pro- 

 prietà che può esprimersi col teorema seguente: 



Comunque si scelga j compreso fra lei, avremo: 



(7) S. = rV>(^,H)S,_i(E,^)dE. 



%.' y 



Questa proprietà è evidente per i = 1. Mostriamo che se 

 è vera per i vale anche per i -\- 1. Infatti 



