320 VITO VOLTERRA 



ai Hi {x, y) 



^^ ~ h ix) 



essendo H, = 4—. 



Si dimostra facilmente che se Hj {x,y) si conserva finita e 



continua per x, y comprese fra a e a -|- A, la serie 



(15) ^^\{x,y) 







è al pari della serie (4) convergente in egual grado per tutti 

 i valori di x, y compresi fra gli stessi limiti, e perciò ^{tj) ha 



\2TT 



un significato. Se ammettiamo poi che anche Hja = ^-^- sia 



òoc oy 



finita e continua per x, y compresi fra gli stessi limiti, anche 



la serie delle derivate Z -r-^ sarà pure convergente in egual 



grado, e perciò, supposto f {x) finita e continua per x compresa 

 fra a e a -|- A, tale resulterà qp {y) data dalla (13). Dimostriamo 

 ora che questa funzione verifica la (1). Infatti dalle (13) e (14) 

 segue, mediante una integrazione per parti 



(y{x) n{x,y) dx = f{y) - f{a) + r\fix) - fia)[ 1 S', {x,y) dx 



- j « ^^1t^ h^ (^' y^ ^^ - i! ^ dipjf{x)-f{o)\ I ^\{x,i)dx 



e applicando il principio di Dirichlet, avremo 



f%(rr) n{x,y)dx = f{y) - f{a) + \l\f{x) - f{a) \ § S\ [x, y) dx 



Ora per la convergenza in egual grado della serie (15) 

 abbiamo 



