SUI PRINCIPI CHE REGGONO LA GEOMETRIA DI POSIZIONE 387 



Tale è il principio che informa l'ingegnosa dimostrazione do- 

 vuta all'ENRiQUES (*), da noi qui parzialmente imitata. 



Il simbolo [abcd] leggasi " triangolo projettivo ahccl „. 



P. 7. a,b,ce[0] . {a,b,c) -^ €Cl . deabc ^ bc-^ca-~ab : '^ . {abcd) = 



= [0] -^ la -^ \b n xe ] [bc n ax] e {b [oc n ad^ e) . [ca o 



n bx^ e (e [ca n bd] a) ( Def. 



P. 8. Hp P 7 . . (abcd) = a{b [bc n ad] c)nb(c [ca n bd] a) Teor. 



Lo P7,8 voglion dire in sostanza che " essendo a^ b, e tre 

 punti non allineati e e? un punto del piano ab e non apparte- 

 nente a nessuna delle rette bc, e a, ab, se con a\ V indichiamo 

 le proiezioni del punto d dai punti a, b sulle rette bc, ca, la 

 figura {abcd) sarà l'insieme dei punti x, diversi à2i a e b, che 

 proiettati come il punto d mandano le loro imagini dentro i 

 segmenti projettivi {ba'c), (cb'a) — ovvero, che è lo stesso, 



(*) Loc. cit., § 8: la quale si può forse imputare di poca simmetria 

 nelle parti e dell'uso non necessario d'una proposizione (il teor."' sui triang.^ 

 omologici) dipendente da postulati spaziali. Con le modificazioni da noi 

 portate essa è ridotta, in sostanza, al ragionamento che segue. Sia ah' ed 

 un quadrangolo costruttore del gruppo armonico ahcci; e per a passino 

 i lati h' e e ad, per h i lati a' e e h' d, per e' e ci risp.® i lati ed e ah'. Detto 

 e" il punto comune alle linee ed e ah', prendasi nella ed vio. punto z di- 

 verso da e e separato da e' per mezzo dei punti e q d. Allora le coppie 

 e, b ed a', x, projezioni delle coppie e, d Q e", z dal punto h' sulla retta he, 

 dovranno eziandio separarsi a vicenda; e similmente le coppie e, a e. h',y', 

 projezioni dal punto a' sulla retta e a. Ne viene che anche le coppie c,h e 

 y, X, projezioni delle e, 6 e a,x' dal punto z sulla retta ha, si separano; 

 e nello stesso modo le coppie e', a q x, y, projezioni delle e, a e h', y. Da 

 ciò segue che il punto e giace dentro il segmento axh. Ma le coppie se- 

 parate e, 6 e a, X danno, per projezione da &' su ah, le coppie a, 6 e cj, x: 

 quindi il punto e^ non appartiene al segmento axh. Dunque i punti e e Cj 

 son separati dai punti a e 6. Con ciò resta altresì dimostrato che i punti 

 e e Ci non posson coincidere. — La dimostrazione che si suol dare a questo 

 teorema (V. p. e., Reye, Pasch, Sannia) è per ciò appunto in difetto, che 

 presuppone distinti l'uno dall'altro quei punti e' e c^. Veramente il Pasch 

 (Zoe. cit., pag. 83) afferma che essi sono diversi ; per altro senza addurne 

 ragioni. 



