SUI PRINCIPI CHE EEGGONO LA GEOMETRIA DI POSIZIONE 399 



(ò) Hp . P9,3 §11:0. {(i^cd) u [alce) u [ahcf) u {abcg) uhc^cau 

 o aJ abc 

 Hp . (t) . (b) : 3 . Th' 



Pertanto: " Le rette ab, he, ca spezzano il piano ahc nei 

 quattro triangoli [ab ed), {ab ce), [ahef), (abcg) per modo che, 

 tolte esse rette, il piano è la somma logica dei quattro trian- 

 goli „. Due qualunque dei quali non hanno punti comuni: 



P. 12. HpPll . . {ahed) n ) {ahce) u (ahcf) u {ahcg) ] = A Teor. 



Fhp .-. .-. (abed) n ) (ahce) u (ahcf) u (ahcg) ( ~ = A . P18 §11 : 

 : : [abcd) = {ahce) . u . (ahed) == {ahef) . u . {ahed) = 

 = {ahcg) : PIO §11 : : ee{ahcd) .u. fe{ahcd) .u. 

 .u.ge{ahed).'.O.Th^ 



Ne sarà superfluo il mostrare come " sotto le stesse ipo- 

 tesi, una retta arbitraria r del piano abc, sempre che non passi 

 per alcuno dei punti a, b, e, penetra sempre in tre dei quattro 

 triangoli {abcd), {ahce), {ahcf), {abcg), anzi in tre solamente „. 

 Invero, preso un punto p sulla r, il quale non appartenga a 

 nessuna delle a è, he, e a (come è lecito per le P7,8§8); questo, 

 per la Pll, giacerà in uno dei quattro triangoli, p. e. in {abcd). 

 Allora, in forza di P21§11, la r dovrà tagliare due volte il con- 

 torno di {abcd): p. e. nei punti u, v situati rispettiv.® sui lati 

 {ba'c), {ch'a). Quindi (PI) il punto iv = rnah giacerà fuori del 

 segmento {ac'b), al pari dei punti e" e e'" (P7); vale a dire 

 (P19§9) starà nei segmenti {ac"b) o {ac"'b) che non differiscon 

 tra loro. Ma neppure differiscon tra loro (P14 §8) i segmenti 

 {ba'c), {ha" e), o i segmenti {ch'a), {eh'" a): cosicché la retta r 

 taglia eziandio doppiamente il contorno di ognuno dei triangoli 

 {ahce), (ahcf), ossia (P5) penetra in essi. Infine, poiché nessuno 

 dei punti u, v, iv appartiene al contorno {ba^^c) u {ch^^'a) u {ac^'^b) u 

 u m u lè «j ic del rimanente triangolo [dal momento (P14 §8) che 

 {ae'b) = {aà^h), laddove (P28 §8) i segmenti {ba'c) e {ba^^e), 

 come pure {cb'a) e {ch^'^a), non hanno punti comuni], la r sarà 

 tutta esterna (P21§11) al triangolo {ahcg). 



