SULLA CATENA DI UN ENTE IN UN GRUPPO 447 



spondenti: gli enti di un gruppo che non hanno corrispondenti, 

 si diranno isolati. 



d) Se in una corrispondenza di un gruppo Gr con se stesso 

 l'immagine di una parte G' di Gr (che può constare anche di un 

 solo ente) è lo stesso Gr', diremo che in tale corrispondenza Gr' è 

 un ciclo, che sarà parziale se G' è parte propria di G. 



Se nessuna parte propria di un ciclo è ciclo essa stessa, 

 diremo semplice il ciclo. 



e) Diremo sviluppabile il gruppo che il Dedekind dice in- 

 finito (unendlich (1)), cioè quello che è simile ad una sua parte 

 propria. 



1. — Sia una parte Gj di un gruppo G simile ad un'altra 

 Gg dello stesso gruppo (distinta o no da essa) in una corrispon- 

 denza a di G (o di una sua parte) con se stesso. Se a è un 

 ente di G^, si indichi con a a il suo corrispondente in G2, e se 5 

 è di G.,, sia ire il suo corrispondente in G^. Possono esistere in 

 G enti privi di ente cr, o di ente tt, o di entrambi. 



Si indichi con {a)o ogni gruppo parte di G, che contenga un 

 ente a di G^ e che, se contiene un ente di G^ contenga anche il 

 suo ente e (quando questo esiste). 



Def. P. — Diremo catena di a in G rispetto al criterio cr 

 il legame di tutti i gruppi {a)ci (2). 



La catena di un ente a esiste sempre, e si riduce ad a 

 quando non esiste oa. — Essa pure è un gruppo {a)o, e nessun 

 altro gruppo (a)cf è sua parte propria. 



Definizione analoga può darsi rispetto al criterio tt. 



Def. 2^. — Diremo opposti i due criteri C e tt, ed opposte le 

 due catene di un medesimo ente rispetto a due criteri opposti. 



2. Teorema. — Se h è un ente della catena di a fatta in G 

 rispetto al criterio (T, la catena di b pure rispetto a (5 è parte di 

 quella di a. 



(1) Dedekind, l. e, N. 64. La ragione di questo cambiamento di nome 

 sta in ciò, che, come conto di mostrare in un'altra nota, è da modificare, 

 ampliandola, la definizione che il Dedekind dà del gruppo infinito. 



(2) Il Dedekind [l. e, N. 44) parla di catene anche nelle corrispondenze 

 non simili; ma si restringe a quelle che diremo illimitate (cfr. § 8 di questa 

 Nota). 



