448 EODOLFO BETTAZZI 



Altrimenti il gruppo legame delle due catene sarebbe un 

 gruppo {b)(j che non conterrebbe come parte l'intera catena di b. 



3. Teorema. — In una catena può esistere al più un ente, 

 del quale non vi sia in essa l'ente (J, ed al più uno privo in 

 essa di ente n. 



1° Se r è catena di a rispetto al criterio o, e b e dì V 

 e non è a, qualora in F non esistesse nb, sopprimendo è in f 

 resterebbe un gruppo {a)o di cui f non sarebbe parte (§ 1). 

 Dunque il solo ente a può esser privo di ente ir. 



2° Se è è un ente che in T è privo di ente a, si costruisca 

 la catena f di 6 in f rispetto al criterio tt. Essa, se contiene 

 un ente di f ne contiene il tt, e quindi se non contiene un ente 

 non ne contiene il C: perciò, se non contenesse a, non conter- 

 rebbe intera la catena f di a, e in conseguenza neppure b. 

 Dunque f contiene a. Ma per la 1-^ parte già dimostrata nel- 

 l'attuale teorema un solo ente di f può esser privo di a (es- 

 sendo IT il criterio di f) e questo è b^ dunque V contiene a 

 e il (J di ogni ente che contiene, quando esiste, e in conseguenza 

 (§ 1) contiene f, con cui dovrà perciò coincidere. È dunque vero 

 per r ciò che si è detto ora per f, ossia che il solo ente privo 

 di ente e b. 



Osservazione. — In una catena di a rispetto al criterio a, 

 il solo ente che può esser privo di tt è a: nella catena rispetto 

 a TT, a è il solo ente che può essere privo di o. 



Def. — Una catena fatta rispetto al criterio o si dirà limi- 

 tata od illimitata, secondochè esiste in essa o no un ente privo 

 di ente (J; aperta o chiusa secondochè esiste in essa o no un 

 ente privo di ente tt. 



Corollario. — Uìia catena aperta illimitata è un gruppo 

 sviluppabile (e). 



4. Teorema. — Se la catena V di un ente a presa in Gr ri- 

 spetto al criterio (5 non consta di un solo ente ed è chiusa, è ca- 

 tena chiusa anche rispetto al criterio tt, ed in entrambi gli aspetti 

 è illimitata. 



Essendo T chiusa (§ 3, Def.), essa contiene l'ente tt di ogni 

 proprio ente. Costruendo in G la catena V di a rispetto al criterio 

 TT, essa dovrà dunque far parte di f. 



