SULLA CATENA DI UN ENTE IN UN GRUPPO 449 



Inversamente deve f essere parte di f. Ed invero f con- 

 tiene a. Inoltre contiene l'ente (J di ogni ente, eccetto al piìi a 

 (§ 3. Teor.), essendo fatta rispetto al criterio tt; ma contiene 

 anche e a, altrimenti se mancasse in essa ca^ mancherebbe l'ente 

 a di Oa (di cui e a è ente tt) ed in generale mancherebbe il 6 

 di ogni ente che in essa manca, e quindi mancherebbe tutta la 

 catena f, eccetto a, il che è assurdo, poiché na che è di f (es- 

 sendo r chiusa e non constando di un solo ente a), è anche 

 di f. Si conclude che f contiene a e l'ente o di ogni ente che 

 contiene, e quindi tutto f, 



I gruppi r e r' sono ciascuno parte dell'altro, e quindi sono 

 identici, come si doveva provare. 



Inoltre f, e quindi anche f, contiene l'ente (J di ogni suo 

 ente: così f, e quindi f, contiene l'ente tt di ogni suo ente; 

 perciò r e r' sono entrambi illimitate, e. d. d. 



Cor. 1°. — Ogni catena chiusa non di un solo ente coincide 

 colla propria opposta. 



Cor. 2°. — Ogni catena limitata è aperta. 



Cor. 3°. — Una catena chiusa è un ciclo (d) nella corrispon- 

 denza da cui essa nasce. 



5. Teorema. — Nella corrispondenza da cui nasce una catena^ 

 nessuna parte propria della catena è un ciclo. 



Invero, se f è catena di a ed è f un suo ciclo, f non deve 

 contenere a, altrimenti conterrebbe l'intero f, di cui invece è 

 parte propria. Inoltre f non può contenere l'ente e di nessuno 

 degli enti che esso non contiene, cioè non contiene nessun ente 

 di r, mentre al contrario dev'essere costituito con enti di f. 

 Un tale ciclo dunque non esiste. 



Cor. 1°. — Ogni catena chiusa è un ciclo semplice nella cor- 

 rispondenza che l'ha prodotta (§ 4, Cor. 3°). 



Cor. 2°. — Il gruppo composto di due catene opposte di un 

 medesimo ente a (§ 1. Def. 2^), che siano entrambe illimitate, è un 

 ciclo semplice nella corrispondenza da cui nascono le catene. 



6. Teorema, — Una catena chiusa f di un ente a in un 

 gruppo G è in esso catena di uno qualunque dei propri enti rispetto 

 allo stesso criterio ed all'opposto. 



