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Infatti, se r è catena di a rispetto al criterio a e è è ente 

 di r, si ha che V contiene la catena V di b rispetto a a (§ 2. 

 Teor.). Ma se V contiene un ente, contiene il suo ente cr, e quindi 

 se manca di un ente, manca anche del suo ente tt, dato anche 

 che questo esista; e siccome se non contenesse a, dovrebbe per 

 tal ragione mancare di tutta la catena di a rispetto a tt, che 

 è r stessa (§ 4. Teor.), e quindi anche di b, il che è assurdo, 

 così si conclude che contiene l'ente a e quindi (§ 2. Teor.) la 

 catena f di a. Dunque f e f si contengono a vicenda, cioè 

 coincidono e. d. d. 



Così dicasi della catena di b rispetto a tt. 



7. Teorema. — Se in una corrispondenza priva di cicli un 

 gruppo G ha per immagine una sua parte propria^ esso si può 

 spezzare in un gruppo di catene aperte ed illimitate di enti di Gr, 



Sia G' la parte propria di G, sua immagine nella corrispon- 

 denza a, e Gq il gruppo degli enti di G, che non sono enti di G'. 

 Diciamo (5 di un ente di G la sua immagine: ogni ente di G 

 ammette l'ente (J, ogni ente di G' l'ente tt, gli enti di Gq sono 

 privi di tt. 



Si costruisca la catena, rispetto a G, di ciascuno degli enti 

 di Gq: tali catene sono chiaramente aperte ed illimitate. Allora 

 1° " Due catene r„ e Pj di due enti distinti a e è di Gq 

 non possono avere enti comuni „. 



Altrimenti b non essendo di f^ ne a di F^, giacche a e b 

 non hanno ente rr (§ 3. Oss.), il legame di f^ e fj, se esistesse, 

 sarebbe composto di enti aventi ciascuno l'ente tt e l'ente C, e 

 quindi costituirebbe un ciclo nella corrispondenza contro l'ipotesi. 

 2» " Ogni ente di G deve trovarsi in qualcuna delle ca- 

 tene ora costruite „. 



Infatti gli enti di Gq vi si trovano per costruzione. Gli altri 

 sono quelli che ammettono in G il proprio a ed il proprio tt: 

 talché se un ente mancasse in tutte quelle catene, mancherebbe 

 pure il suo o ed il suo ir. Il gruppo degli enti mancanti in tutte 

 quelle catene, se esistesse, costituirebbe un ciclo nella corrispon- 

 denza, contro l'ipotesi, e quindi non esiste. 



CoE. 1°. — Se "p è un ente di G, e G ha per immagine il 

 gruppo degli enti di G distinti da p in una corrispondenza priva 

 di cicli, sarà G catena aperta illimitata di p Ì7i tale corrispondenza. 



