SULLA CATENA DI UN ENTE IN UN GRUPPO 451 



Cor. 2°. — Se in una corrispondenza un gruppo ha per im- 

 magiìie una sua parte propria, esso, rispetto a quella corrispon- 

 denza, si spezza in un gruppo di catene aderte illimitate e di cicli. 



8. Teorema. — Se in una corrispondenza a un gruppo G è 

 un ciclo semplice (d), esso in questa corrispondenza o è una catena 

 chiusa, si spezza in due catene aperte illimitate di criteri opposti. 



L'immagine di un ente di G si dica suo ente a; di ogni 

 ente di G esisterà allora l'ente a e l'ente tt. Si costruisca la 

 catena V rispetto al criterio cf di un ente qualunque a di G. Se 

 essa è chiusa, dev'essere identica all'intero gruppo G; altrimenti 

 (§ 4. Cor. 3°) sarebbe un ciclo parziale nella corrispondenza, che 

 non esiste per ipotesi, essendo G un ciclo semplice. Il teorema 

 allora è provato. 



Se r è aperta, è anche illimitata, non essendovi ente privo 

 di a. Essa allora non è identica a G^ mancando almeno di Tra 

 (§ 3. Def.). In essa manca l'ente tt di ogni ente che vi manca, 

 perchè se un ente vi comparisce, vi comparisce anche il suo cf: 

 dunque fra gli enti di G, che mancano in esso, vi è ira ed il tt 

 di ogni ente che manca, talché il gruppo f degli enti di G man- 

 canti in r è un gruppo (Tta)^ (§ 1), E f è precisamente catena 

 di TT a rispetto al criterio tt, giacche altrimenti una tale catena 

 sarebbe illimitata e parte propria di f, ed il gruppo composto 

 di essa e di f costituirebbe un ciclo parziale, contro l'ipotesi. 



Dunque l'intero gruppo è composto di f e di f, catene 

 illimitate rispetto a criteri opposti e. d. d. 



Cor. — Se rispetto ad una corrispondenza in cui è ciclo sem- 

 plice, un gruppo non è catena chiusa di nessun suo ente, il gruppo 

 è sviluppabile (§ 3. Cor.). 



Passiamo ora ad occuparci della ordinabilità delle catene. 

 f) Per le definizioni relative ai gruppi ordinati e bene 

 ordinati prenderemo quelle del Cantor, rese complete dal 

 prof. Burali-Forti , nella sua Nota: " Sulle classi ordinate ed i 

 numeri transfiniti „ (1) colle leggiere modificazioni che accen- 

 neremo. 



(1) Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, tomo Vili. 



