452 RODOLFO BETTAZZI 



g) In un gruppo ordinato ammetteremo che possano 

 esistere un ente senza precedenti ed uno senza seguenti. Cre- 

 diamo conveniente adottare quindi la seguente distinzione: 



Diremo limitati i gruppi ordinati, in cui esiste un ente senza 

 precedenti ed uno senza seguenti: illimitati gli altri. 



h) Per i gruppi bene ordinati renderemo un poco più 

 generale la definizione del prof, Burali-Forti, e così: 



Un gruppo si dirà bene ordinato rispetto a o (o a tt) quando 

 sia ordinato, e di ogni ente, che ammette seguenti, esista l'im- 

 mediatamente seguente (o di ogni ente, che ammette precedenti, 

 esista l'immediatamente precedente). 



i) I gruppi bene ordinati illimitati, in cui esiste un ente 

 privo di precedenti, e quindi [g) nessuno privo di seguenti, ed 

 ogni ente abbia l'immediatamente seguente, — e analogamente 

 quelli in cui esiste un ente privo di seguenti e non ve n'è nes- 

 suno privo di immediatamente precedente, si diranno ad un 

 senso (risp.: rispetto a a od a ir). 



Quelli in cui non vi sono enti privi di precedenti, ne enti 

 privi di seguenti, e, perchè bene ordinati, ammettono l'immedia- 

 tamente seguente o l'immediatamente precedente di ogni ente, 

 si diranno a due sensi (risp.: rispetto a G od a tt). 



jj Nei gruppi bene ordinati, in cui ogni ente, tranne al 

 pili uno, ha l' immediatamente seguente , diremo (quando esi- 

 stono) originario l'ente senza precedenti, finale quello senza 

 seguenti: in quelli in cui al più uno è privo di immediatamente 

 precedente, diremo invece inversamente originario l'ente senza 

 seguenti e finale quello senza precedenti, quando esistono. 



9. Lemma 1°. — Dato ìin gruppo Gr, di cui p è un ente, se 

 G ha per immagine G-p {gruppo degli enti di G distinti da p) 

 in una corrispondenza a priva di cicli, esso è bene ordinabile e può 

 dare origine ad un gruppo bene ordinato illimitato ad un senso (1). 



Se a è un ente di G, si indichi con a a il suo corrispondente 

 a' in G-p, ed allora a si indichi con ti a'. Esisterà il a di ogni 

 ente di G, ed il tt di ogni ente di G, eccetto di p. 



(1) Di questo lemma e del seguente non si riporta per disteso la lunga 

 ma non difficile dimostrazione, che si troverà completa in una nostra ulte- 

 riore pubblicazione: Fondamenti ^jer una teoria generale dei gruppi. 



