SULLA CATENA DI UN ENTE IN UN GRUPPO 453 



Si definisca allora il gruppo dei seguenti di un ente qua- 

 lunque a di G come il gruppo composto di tutti i gruppi pos- 

 sibili, formati con enti di G, in modo che: 



l'' non contengano a ; 



2" contengano a a ; 



3° se contengono un ente di G, contengano anche il suo 

 ente <5 (quando esiste). 



Si vede senza difficoltà che tali gruppi esistono, e che obbe- 

 discono a quelle condizioni che sono richieste nel concetto di se- 

 guente affinchè il gruppo si dica ordinato; inoltre che di ogni ente 

 esiste l'immediatameute seguente e di p non esistono precedenti. 

 Il gruppo apparisce quindi bene ordinato, illimitato ad un senso. 



Lemma 2°. — Dato un gruppo G, che sia ciclo semplice in una 

 corrispondenza a, esso è bene ordinabile e dà origine sempre ad un 

 gruppo bene ordinato limitato, ed in alcuni casi anche ad un gruppo 

 bene ordinato, illimitato a due sensi. 



Sia p un ente di G e g l'ente di cui p è immagine, che è 

 distinto da p in causa della mancanza di cicli parziali. Essendo 

 G immagine di se stesso nella corrispondenza a, per ipotesi, (}-q 

 avrà per immagine Ìj-p. 



Indico, come nel caso precedente, con da l'immagine a' di 

 un ente di G-g, e con ir a' l'ente a. Esisterà il (7 di ogni ente 

 di G tranne di g'^ e il tt di ogni ente di G tranne p. 



Il gruppo dei seguenti di un ente si definisca come nel 

 lemma precedente: il gruppo sarà così ordinato. Inoltre, di ogni 

 ente diverso da q esiste l'immediatamente seguente, e di ogni 

 ente che non è p l'immediatamente precedente: il gruppo dato 

 sarà così bene ordinato e limitato, con p ente originario e q 

 ente finale. 



Si costruisca la catena Gq di p rispetto al criterio e. Se 

 essa non è identica all'intero gruppo, il gruppo Gj degli enti 

 restanti è catena di q rispetto al criterio tt. Dicendo tutti gli 

 enti di Gq seguenti a tutti quelli di Gj, il gruppo resta ancora 

 bene ordinato, ma illimitato ed a due sensi, tanto rispetto al 

 criterio a, quanto rispetto a tt. 



Osservazione. — I casi dei due lemmi precedenti non si esclu- 

 dono a vicenda necessariamente. 



