454 RODOLFO BETTAZZI 



10. Teorema 1°. — Tina catena chiusa è bene ordinabile e dà 

 un gruppo limitato. 



Infatti una catena chiusa è un ciclo semplice nella corri- 

 spondenza che l'ha prodotta (§ 5. Cor. 1°) : quindi potrà ordi- 

 narsi producendo un gruppo bene ordinato, limitato, avente per 

 originario un ente qualunque di essa, e per finale l'ente n di 

 tale ente (§ 9. Lemma 2°). 



Osservazione P. — Non è possibile il secondo ordinamento 

 in gruppo illimitato, a cui si accenna nel Lemma 2*^ del § 7, 

 giacche la catena di un ente qualunque di una catena chiusa è di 

 nuovo la catena stessa (§ 6. Teor.) e quindi non ne è parte propria. 



Teorema 2°. — Una catena aperta limitata è bene ordinabile 

 e dà origine ad un gruppo limitato. 



Infatti se a e l'ente di cui f è catena rispetto al criterio (S 

 e b quello privo di ente a, dicendo a immagine di b, si ottiene 

 una corrispondenza in cui f è immagine di se stesso, che non 

 ammette cicli parziali, non esistendo tali cicli in f rispetto alla 

 corrispondenza che produce la catena (§ 5. Teor.). Allora in tale 

 corrispondenza f è un ciclo semplice, e quindi (§ 9. Lemma 2°) 

 è bene ordinabile in un gruppo limitato, avente per originario a 

 e per finale b, o per originario un altro ente qualunque diverso 

 da a e per finale l'ente ir a. 



Osservazione 2^. — È facile vedere come neppure in questo 

 caso è possibile l'ordinamento in gruppo illimitato, di cui parla 

 il Lemma 2° del § 9. 



Teorema 3°. — Vna catena aperta illimitata è bene ordinabile 

 e dà un gruppo illimitato ad un senso. 



Infatti se r è la catena in questione ed è catena di a ri- 

 spetto p. es.: al criterio a, di ogni ente esiste l'ente cr e l'ente 

 , eccetto per «_, che è privo di ir; fra f e V-a vi è quindi una 

 corrispondenza, nella quale V-a è l'immagine di f. Tale corri- 

 spondenza è quella che produce la catena, e quindi è priva di 

 cicli (§ 5. Teor.). Dunque (§ 9. Lemma 1°) la catena è ordina- 

 bile e produce un gruppo illimitato e ad un senso, avente per 

 originario a. 



Osservazione 3^. — Non si esclude la possibilità di altri 

 ordinamenti in questo caso. 



