SULLA CATENA DI UN ENTE IN UN GRUPPO 455 



11. — Dato un gruppo G bene ordinato rispetto a a (cioè 

 tale che in esso ogni ente ammette l'immediatamente seguente 

 tranne al più uno, il finale ò), e se il a di un ente si dice sua 

 immagine, chiaramente si stabilisce una corrispondenza fra G e 

 se stesso, nella quale l'immagine di G o di G-b è quella parte 

 propria, che è costituita dagli enti di G^ i quali ammettono un 

 ente immediatamente precedente. 



Rispetto a tale corrispondenza si può costruire la catena 

 di un ente a. Le catene di cui si parlerà nei teoremi seguenti 

 s'intenderanno prese rispetto alla corrispondenza citata. 



Teorema 1°. — La catena f di mi ente a in un gruppo bene 

 ordinato rispetto a <5 contiene soltanto enti seguenti di a. 



Infatti il gruppo degli enti non precedenti di a, che sono 

 in r, contiene a, e, se contiene un ente, contiene anche il suo 

 immediatamente seguente, e quindi l'intera catena. 



Cor. 1° — La catena di un ente a in un gruppo bene ordi- 

 nato è aperta. 



Teorema 2°. — Se nella catena di tm ente a in un gruppo 

 bene ordinato manca un ente b seguente di a , mancano tutti i 

 seguenti di b. 



Infatti, se nella catena f vi fossero anche enti seguenti di b, 

 sopprimendoli, resterebbe un gruppo contenente a^ l'ente a di 

 ogni ente che contiene (giacche b^ unico ente immediatamente 

 precedente a qualcuno degli enti soppressi che non sia fra essi, 

 non esiste in T) e quindi un gruppo contenente intera la catena 

 di a, il che è assurdo. 



Cor. 2". — Se la catena di a in un gruppo bene ordinalo 

 contiene un ente e, che dev'essere seguente di a (§ 11. Teor. l*') 

 contiene tutti gli enti compresi fra a e e {seguenti di a e prece- 

 denti di e). 



Cor. 3''. — Se la catena dell'ente originario di un gruppo bene 

 ordinato limitato contiene l'ente finale del gruppo, essa coincide col 

 gruppo; e quindi se essa non coincide col gruppo intero, non 

 contiene l'ente finale, ed è quindi illimitata. 



12. Teorema 1°. — In un gruppo G bene ordinato rispetto 

 a a, se si dimostra una proprietà per un suo ente a, e si prova 



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