456 RODOLFO BETTAZZI — SUILA CATENA DI UN ENTE IN DN GRUPPO 



che se essa è vera per un ente, lo è anche per il suo ente CT, tale 

 proprietà resta provata per tutti gli enti della catena di a. 



Ed invero il gruppo degli enti di g che godono la data 

 proprietà contiene a ed il cr di ogni ente che contiene, e quindi 

 contiene tutta la catena di a. 



Cor. 1° — Se un gruppo bene ordinato illimitato ad un senso 

 limitato è catena del suo ente originario, una proprietà dimo- 

 strata per l'ente originario e che, supposta vera per un ente, si 

 dimostri vera per il suo ente (5, è provata per qualunque ente del 

 gruppo. 



Osservazione. — Il fatto indicato nel Corollario precedente 

 non è che il principio d'induzione matematica (1). 



È vero il reciproco del Corollario precedente, cioè : 



Teorema 2°. — Se in un gruppo bene ordinato, limitato od 

 illimitato ad un senso {rispetto a (J), vale il principio d'induzione, 

 esso è catena del suo ente originario rispetto a C. 



Infatti se un gruppo contiene l'originario a del gruppo in 

 questione G e l'ente a di ogni ente di Gì che contiene, per il 

 principio d'induzione supposto conterrà tutto G, e quindi G sarà 

 comune a tutti i gruppi (a) a dei quali sarà il legame, e sarà 

 perciò (§ 1. Def. l'^) catena di a. 



Cor. 2". — La condizione necessaria e sufficiente che deve 

 verificarsi in un gruppo bene ordinato avente un ente originario, 

 affinchè valga in esso il principio d'induzione, è che esso sia ca- 

 tena del proprio ente originario. 



(1) Dedekind, l. e, N. 59, 60. 



