SUI PRINCIPI CHE REGGONO LA GEOMETRIA DI POSIZIONE 405 



Dalla P 1 seguono immediatamente queste altre due : 



P. 3. HpPl . . Arm„fc e = Arnii, „ e Teor. 



P. 4. HpPl . rf€Arm„bC : 3^ . C€Arm„,i, ^ Teor. 



Che poi la figura Arnia (, <^ consti di un unico punto, ossia 

 che: 



P. 5. HpPl . Q . num Arniae, e ^ 1 Teor. 



si dimostra al modo ordinario per via di triangoli omologici (*), 

 la qual cosa implica l'uso del IX° Postulato (P5 §6); al con- 

 trario dei fatti studiati ai precedenti §§ 7, 8, . . . 13, che sono 

 indipendenti dall'esistenza di punti fuori del piano. — Dopo ciò 

 si può altresì dimostrare che: 



P. 6. HpPl . M,ve[0] -r . w~ = 'y , {c,u,v)e CI : o„,„ . {[aun bv], 

 [av n bu] , Arm„,6 e) e CI Teor. 



d'onde la permutabilità delle coppie armoniche, ossia: 



P. 7. HpPl . d = Arnioni, e :,o . & = Arm,,d a Teor. 



Gioverà introdurre anche la definizione seguente : 



P. 8. a, & e [0] . a ~ = & : Q : Arm„,b a = a . Arnia ;, b = b Def. 



e così accanto alla P3 si potrà scrivere: 



P. 9. a, & € [0] . a ~ = & : . Arm„ 6 a ^= Arm,,,„ a Teor. 



ecc., ecc. Con ciò il simbolo Arm^^fc x risulta definito per qual- 

 sivoglia punto X della r (purché a e b siano distinti) e rappre- 

 senta un certo punto di r variabile con x. Il segno " Arniai, „ 

 per se solo ha dunque il valore di trasformazione della retta r 

 in sé stessa — anzi, per ciò che precede, di trasformazione reci- 



(*) Ved. p. e. Staudt, loc. cit., n" 93. 



