466 MARIO PIERI 



"proca, segmentarla e involutoria; qualmente è espresso dalle due 

 proposizioni seguenti: 



P. 10. re[l] . a,6€r . a~ = & : Q . Arnio^b e(rf r)Recn T^,. Teor. 



P. 11, HpPlO . xer : q^ : Arm„ j Arm„6 x = x . Arniob x = 



= Arm„,b X Teor. 



La biunivocità involutoria segue specialmente dalle P5, 4, 8; 

 dalle P3§10, Pl,3§13 e PI risulta poi che la trasforma- 

 zione è segmentaria. Essa può costruirsi notoriamente così. 

 Preso un punto u fuori di r e un punto a' sulla hu diverso 

 da & e da w_, si projetti un punto variabile x della r dal centro 

 Il sopra la a a', e dicasi v l'immagine; poi il punto v si projetti 

 da b in b' sopra la a w , e il punto b' da a' sopra la r in x' : 

 sarà x' il trasformato di x (e viceversa). — Una proprietà note- 

 vole si è che due coppie di punti corrispondenti non possono 

 mai separarsi; e cioè che: 



P. 12. HpPlO . X, y er -^ la ^ \b . X -^ = y . x' = Arm^ba; . y' = 

 = Arm<,,6 y : Ox,y • y'^ i^y^') Teor. 



Invero, dal fatto che i punti a, b, x, y, x' , ij sono tutti di- 

 stinti (P4, 5) e dall'ipotesi (P2, 5) x^^^{axb) si deduce (P24 

 § 8) &~ € (ajaa?'); onde (P19 § 9) il dilemma ^ e (a;aa;') . u . ^ e 

 {xbx^^. Ora (P8, 10) la trasformazione segmentaria Arnia,;, cangia 

 ordinatamente i punti a, b, x, x\ y nei punti «_, 5, x', x, y'; quindi 

 da y^ {xax') si deduce ^'e [x'ax] (PI § 13), e p. e. (P3, 14 § 8) 

 y'e{xyx'): e il medesimo si trae dalla supposizione ye {xbx'). 



P. 13. re[ì] . a,b,cer. a-^=:b .b -- = e . c-^ = a . de{acb) ~ ic: 

 : 3 .". xer . Arm^d Arnia ^ x == x : -^ :=^ A Teor. 



0, in termini comuni, " Se due coppie di punti distinti a, b e c^ d 

 non si separano , esiste almeno una coppia di punti che le 

 separa entrambe armonicamente „. Per ciò si osservi dapprima, 

 che il prodotto Arnie, d Arm„,b è una trasformazione segmentaria 

 della r in sé stessa (P3§13 e PIO); e che supposto: 



