SUI PRINCIPI CHE REGGONO LA GEOMETRIA DI POSIZIONE 467 



a" = Arm, d Arm^^t a, V ~ Arm.^d Arm„ ,, l, e' = Arm^^t e, e" = 

 = Arm„,(, e', e quindi (P8) : 



a" = . Arm^.d a, h" = Arm,,^ &, e" = Arm,,<i Arm„,,, e, 



ì punti a, h, e, d, aJ\ V , e", e' saranno tutti distinti fra loro. Se 

 proveremo che il segmento {a"c"b") giace con ambo gli estremi 

 nel segmento (acb) e che di più b"e {ciba"), allora il teorema 

 predetto sarà vero in virtù di PIO §13. Che h"e{aba") si ha 

 subito dalla proposizione precedente ; perocché b^ b" ed a, a" 

 separano armonicamente la coppia e, d. Ora, da ciò che (P2) 

 a"'^e{cad) si deduce (Pll §9) a" e {acb), e nello stesso modo 

 b"e{acb). E da a" e {acb), prendendo gli armonici rispetto a 

 e, d, si deduce (PI § 13, P4, 8, 10) a e {a" e b"): per conseguenza 

 (P14 § 8) sarà (a" e b") = {a" a b"). Similmente da c'~ ^{acb) si 

 deduce (P2§13) c"-^^{a" cb")-, per la qual cosa c"~e {a"ab"). 

 Di qui si trae (P 12, 16 § 9) e" ^ {acb), e" ^ {ab a"), b"e {abc"), e 

 però anche (P14§9) {a" e" b") r) (acb). — 



Essendo r, r' due rette arbitrarie diremo " trasformazione 

 armonica di r in r' „ — e indicheremo con T\ry , — ogni tra- 

 sformazione univoca e reciproca di r in r', che a quattro punti 

 armonici sempre coordini quattro punti armonici: 



P. 14. r,/e[l] . Q . T\ry = (r'fr) Recn re ] a,h,cer . a-^ = b : 

 : ^a,b,c . T(Arm„,6 e) = Armra.rj tc ( Def. 



L'inversa di ogni trasformazione armonica TT,.,^' è una trasfor- 

 mazione di r' in r della stessa natura, cioè: 



P. 15. r,r'e[l] . reT\r,r' : Or • T6TT/,r Teor. 



Inoltre: 



P. 16. r,r'&[l] . Q . Ur,r' ~ Try = A Teor. 



vale a dire " Ogni trasformazione armonica è altresì segmen- 

 tarla „. Invero, essendo a,b,c tre diversi punti in r, dalla ipotesi 

 d € {abc)^\b si deduce (P13) l'esistenza di almeno due punti x^y 



