468 MARIO PIERI 



conjugati armonici rispetto ad entrambe le coppie a, e e b^d. 

 Ora, se fosse rd-^e (ra ih tc), non potrebbero esistere (P12) 

 due punti armonici tanto rispetto a ra^Tc, quanto a t&_, tc?. Ma 

 due punti sì fatti esistono al certo, e sono (P14) i trasformati 

 di x^ y: quindi è forza concludere tde (xaT&Tc), 



P. 17. r,r'e[l] . leTTr.r' . e,f,ger . e~=/". f^= g . g^= e . 

 e = Te . f = -vf . g = Tg : <;} : xer -^ irx . =^ A Teor. 



cioè: " Ogni trasformazione armonica la quale ammetta tre 

 punti uniti distinti è l'identità „. Questo il teorema di Staudt. 



Invero siano a, a' due punti distinti, ed a'=ia: mostreremo 

 che da ciò si deduce l'assurdo. I punti e, f, g, a, a' saranno di- 

 stinti fra loro, e gli ultimi due non potranno esser separati dai 

 rimanenti (P16). Sarà lecito supporre a~e {egf), e per conseg.* 

 a'-^-eiegf) ed {eafj = {e a' f) {PIS ^9). 



Ciò posto siano e e e' gli armonici di a ed a' rispetto 

 ad e,f: onde (P14) c'=tc. I punti e e e' saranno diversi fra 

 loro e dai precedenti: inoltre (P2, 12) si avrà e ~ e{eaf), c'~ 

 ^e{ea'f), e' e {a a' e); e delle ipotesi (P 19 § 9) a'e{aec), a'e{afc) 

 basterà considerarne una sola, p. e. la prima, dacché l'altra sì 

 deduce da questa con lo scambio delle lettere e, f tra loro, che 

 non ha influenza di sorta ne sulle ipotesi, ne sui risultati. Ora 

 da a' e {a e e) e c'è (a a' e) si deduce (P 14 § 8) {a e e) = {a a' e), c'è 

 e {a e e) e p. e. (P25 § 8) ce{eac'): e di qui, poiché e, c'~e (eaf), 

 si deduce (P4§9) c'~e(eac), quindi (P5§8) e' e {a e e). Simil- 

 mente, poiché da a' e {a e e) si deduce (P25,3§8) a e {e e a'), e 

 d'altra parte a^ a'^e {ecf}; ne inferiamo altresì che a' ■^ e {eco), 

 quindi che a' e (co e), vale a dire che e e {a e a'). Da tutto ciò 

 segue (P14§9) {a' e e'} ^la' ^ic' ^ {a e e), oltre che (P9 § 9) c'è 

 e{aca'). Sono dunque verificate le ipotesi della PIO § 13 in ordine 

 alla trasformazione t ed ai punti a,e,c,a',e' {=e), e'; e pertanto 

 sarà: 



3e{a'ec') . z = 12 :. ue{aec) . ze{acu) : o„ . m — = tm :: ~ =3 A. 



Insomma esisterà nel segmento {a' e e') un punto unito z sì fatto, 

 che se wer~(ac2:)~ia~i2; [quindi we(c2;a), iie{aec), ed inoltre 

 (P19§8) z e {a e II)] il punto u non è imito. 



